Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \sqrt{y}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Bernoulli-Technik entspricht.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = y^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $y$ aus $\frac{y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = y^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.3

Stelle $y$ und $\frac{1}{x}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2

Um die Differentialgleichung zu lösen, sei $v = y^{1 - n}$ wo $n$ der Exponent von $y^{\frac{1}{2}}$ ist.

$v = y^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

$y = v^{2}$

Schritt 4

Nimm die Ableitung von $y$ in Gedenken an $x$ .

$y' = v^{2}$

Schritt 5

Nimm die Ableitung von $v^{2}$ in Gedenken an $x$ .

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Schritt 5.1

Nimm die Ableitung von $v^{2}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{2}]$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = v$ .

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Schritt 5.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $v$ .

$y' = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [v]$

Schritt 5.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$y' = 2 u \frac{d}{d x} [v]$

Schritt 5.2.3

Ersetze alle $u$ durch $v$ .

$y' = 2 v \frac{d}{d x} [v]$

Schritt 5.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [v]$ als $v'$ um.

$y' = 2 v v'$

Schritt 6

Setze $2 v v'$ für $\frac{d y}{d x}$ und $v^{2}$ für $y$ in die ursprüngliche Gleichung $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{\frac{1}{2}}$ ein.

$2 v v' + \frac{1}{x} v^{2} = {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 7

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 7.1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ um.

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Schritt 7.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 v \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{2} = {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ durch $2 v$ und vereinfache.

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Schritt 7.1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 v \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{2} = {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ durch $2 v$ .

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Schritt 7.1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.1.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.1.1.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Schritt 7.1.1.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Schritt 7.1.1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v$ .

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Schritt 7.1.1.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Schritt 7.1.1.2.1.2.2

Dividiere $\frac{d v}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Schritt 7.1.1.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $v^{2}$ und $v$ .

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Schritt 7.1.1.2.1.3.1

Faktorisiere $v$ aus $\frac{1}{x} v^{2}$ heraus.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{1}{x} v)}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Schritt 7.1.1.2.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.1.1.2.1.3.2.1

Faktorisiere $v$ aus $2 v$ heraus.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{1}{x} v)}{v \cdot 2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Schritt 7.1.1.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{1}{x} v)}{v \cdot 2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Schritt 7.1.1.2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{1}{x} v}{2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Schritt 7.1.1.2.1.4

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{v}{x}}{2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Schritt 7.1.1.2.1.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Schritt 7.1.1.2.1.6

Mutltipliziere $\frac{v}{x}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x \cdot 2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Schritt 7.1.1.2.1.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Schritt 7.1.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.1.1.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1.3.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 7.1.1.3.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v^{2 (\frac{1}{2})}}{2 v}$

Schritt 7.1.1.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.1.1.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v^{2 (\frac{1}{2})}}{2 v}$

Schritt 7.1.1.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v^{1}}{2 v}$

Schritt 7.1.1.3.1.2

Vereinfache.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v}{2 v}$

Schritt 7.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v$ .

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Schritt 7.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v}{2 v}$

Schritt 7.1.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{1}{2}$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $v$ aus $\frac{v}{2 x}$ heraus.

$\frac{d v}{d x} + v \frac{1}{2 x} = \frac{1}{2}$

Schritt 7.1.3

Stelle $v$ und $\frac{1}{2 x}$ um.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{2 x} v = \frac{1}{2}$

Schritt 7.2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{1}{2 x}$ gilt.

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Schritt 7.2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{1}{2 x} d x}$

Schritt 7.2.2

Integriere $\frac{1}{2 x}$ .

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Schritt 7.2.2.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 7.2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 7.2.2.3

Vereinfache.

$e^{\frac{1}{2} \ln (| x |) + C}$

Schritt 7.2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{\frac{1}{2} \ln (x)}$

Schritt 7.2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 7.2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 7.3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 7.3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2 x} v) = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Schritt 7.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2 x}$ und $v$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + x^{\frac{1}{2}} \frac{v}{2 x} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Schritt 7.3.2.2

Kombiniere $x^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{v}{2 x}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{x^{\frac{1}{2}} v}{2 x} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Schritt 7.3.2.3

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Schritt 7.3.2.4

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.3.2.4.1

Bewege $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x)} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Schritt 7.3.2.4.2

Mutltipliziere $x^{- \frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 7.3.2.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Schritt 7.3.2.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{- \frac{1}{2} + 1}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Schritt 7.3.2.4.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Schritt 7.3.2.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Schritt 7.3.2.4.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Schritt 7.3.3

Kombiniere $x^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 7.4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} v] = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 7.5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} v] d x = \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} d x$

Schritt 7.6

Integriere die linke Seite.

$x^{\frac{1}{2}} v = \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} d x$

Schritt 7.7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.7.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 7.7.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 7.7.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.7.3.1

Schreibe $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$ als $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ um.

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7.7.3.2

Vereinfache.

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Schritt 7.7.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7.7.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7.7.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 7.7.3.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2 (1)}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7.7.3.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.7.3.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7.7.3.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7.7.3.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7.8

Teile jeden Ausdruck in $x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ und vereinfache.

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Schritt 7.8.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} v}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7.8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} v}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7.8.2.2

Dividiere $v$ durch $1$ .

$v = \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7.8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.8.3.1.1

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$v = \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7.8.3.1.2

Multipliziere $x^{\frac{3}{2}}$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.8.3.1.2.1

Bewege $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$v = \frac{1}{3} (x^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7.8.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$v = \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7.8.3.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$v = \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 + 3}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7.8.3.1.2.4

Addiere $- 1$ und $3$ .

$v = \frac{1}{3} x^{\frac{2}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7.8.3.1.2.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$v = \frac{1}{3} x^{1} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7.8.3.1.3

Vereinfache $\frac{1}{3} x^{1}$ .

$v = \frac{1}{3} x + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7.8.3.1.4

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x$ .

$v = \frac{x}{3} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8

Ersetze $v$ durch $y^{\frac{1}{2}}$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{x}{3} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$