Analysis Beispiele

$y d x + x^{3} d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $y d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} d y = - y d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x^{3} y}$ .

$\frac{1}{x^{3} y} x^{3} d y = \frac{1}{x^{3} y} (- y) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} y$ heraus.

$\frac{1}{x^{3} (y)} x^{3} d y = \frac{1}{x^{3} y} (- y) d x$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x^{3} y} x^{3} d y = \frac{1}{x^{3} y} (- y) d x$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x^{3} y} (- y) d x$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{x^{3} y} y d x$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x^{3} y}$ in den Zähler.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x^{3} y} y d x$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $y$ aus $x^{3} y$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y x^{3}} y d x$

Schritt 3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y x^{3}} y d x$

Schritt 3.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x^{3}} d x$

Schritt 3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 4.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 4.3.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.3.2.1

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Schritt 4.3.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.3.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Schritt 4.3.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int x^{- 3} d x$

Schritt 4.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2})$

Schritt 4.3.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.3.4.1

Vereinfache.

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Schritt 4.3.4.1.1

Kombiniere $x^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{x^{- 2}}{2} + C_{2})$

Schritt 4.3.4.1.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2})$

Schritt 4.3.4.2

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = - - \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}$

Schritt 4.3.4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}$

Schritt 4.3.4.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2 x^{2}}$ mit $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{2 x^{2}} + C}$

Schritt 5.2

Schreibe $\ln (| y |) = \frac{1}{2 x^{2}} + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2 x^{2}} + C} = | y |$

Schritt 5.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.3.1

Schreibe die Gleichung als $| y | = e^{\frac{1}{2 x^{2}} + C}$ um.

$| y | = e^{\frac{1}{2 x^{2}} + C}$

Schritt 5.3.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{1}{2 x^{2}} + C}$

Schritt 6

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 6.1

Schreibe $e^{\frac{1}{2 x^{2}} + C}$ als $e^{\frac{1}{2 x^{2}}} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{\frac{1}{2 x^{2}}} e^{C}$

Schritt 6.2

Stelle $e^{\frac{1}{2 x^{2}}}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{\frac{1}{2 x^{2}}}$

Schritt 6.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{\frac{1}{2 x^{2}}}$