Analysis Beispiele

$\frac{d x}{d y} + 1 = e^{x + y}$

Schritt 1

Es sei $v = e^{x + y}$ . Ersetze $v$ für alle $e^{x + y}$ .

$\frac{d x}{d y} + 1 = v$

Schritt 2

Finde $\frac{d v}{d y}$ durch Differenzierung von $e^{x + y}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = e^{y}$ und $g (y) = x + y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + y$ .

$\frac{d v}{d y} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x + y]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d y} = e^{u} \frac{d}{d y} [x + y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + y$ .

$\frac{d v}{d y} = e^{x + y} \frac{d}{d y} [x + y]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d v}{d y} = e^{x + y} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$\frac{d v}{d y} = e^{x + y} (x' + \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{d v}{d y} = e^{x + y} (x' + 1)$

Schritt 3

Ersetze $e^{x + y}$ durch $v$ .

$\frac{d v}{d y} = v (x' + 1)$

Schritt 4

Setze die Ableitung wieder in die Differentialgleichung ein.

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Schritt 4.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d y}}{v} + 0 = v$

Schritt 4.2

Addiere $\frac{\frac{d v}{d y}}{v}$ und $0$ .

$\frac{\frac{d v}{d y}}{v} = v$

Schritt 5

Separiere die Variablen.

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Schritt 5.1

Löse nach $\frac{d v}{d y}$ auf.

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Schritt 5.1.1

Multipliziere beide Seiten mit $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d y}}{v} v = v \cdot v$

Schritt 5.1.2

Vereinfache.

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Schritt 5.1.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v$ .

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Schritt 5.1.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d v}{d y}}{v} v = v \cdot v$

Schritt 5.1.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d v}{d y} = v \cdot v$

Schritt 5.1.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1.2.2.1

Mutltipliziere $v$ mit $v$ .

$\frac{d v}{d y} = v^{2}$

Schritt 5.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{v^{2}}$ .

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d y} = \frac{1}{v^{2}} v^{2}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v^{2}$ .

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d y} = \frac{1}{v^{2}} v^{2}$

Schritt 5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d y} = 1$

Schritt 5.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{v^{2}} d v = 1 d y$

Schritt 6

Integriere beide Seiten.

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Schritt 6.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{v^{2}} d v = \int d y$

Schritt 6.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 6.2.1.1

Bringe $v^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(v^{2})}^{- 1} d v = \int d y$

Schritt 6.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(v^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int v^{2 \cdot - 1} d v = \int d y$

Schritt 6.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int v^{- 2} d v = \int d y$

Schritt 6.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $v^{- 2}$ nach $v$ gleich $- v^{- 1}$ .

$- v^{- 1} + C_{1} = \int d y$

Schritt 6.2.3

Schreibe $- v^{- 1} + C_{1}$ als $- \frac{1}{v} + C_{1}$ um.

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \int d y$

Schritt 6.3

Wende die Konstantenregel an.

$- \frac{1}{v} + C_{1} = y + C_{2}$

Schritt 6.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- \frac{1}{v} = y + K$

Schritt 7

Löse nach $v$ auf.

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Schritt 7.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 7.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$v, 1, 1$

Schritt 7.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$v$

Schritt 7.2

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{v} = y + K$ mit $v$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 7.2.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{v} = y + K$ mit $v$ .

$- \frac{1}{v} v = y v + K v$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{v}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{v} v = y v + K v$

Schritt 7.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{v} v = y v + K v$

Schritt 7.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = y v + K v$

Schritt 7.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 7.3.1

Schreibe die Gleichung als $y v + K v = - 1$ um.

$y v + K v = - 1$

Schritt 7.3.2

Faktorisiere $v$ aus $y v + K v$ heraus.

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Schritt 7.3.2.1

Faktorisiere $v$ aus $y v$ heraus.

$v y + K v = - 1$

Schritt 7.3.2.2

Faktorisiere $v$ aus $K v$ heraus.

$v y + v K = - 1$

Schritt 7.3.2.3

Faktorisiere $v$ aus $v y + v K$ heraus.

$v (y + K) = - 1$

Schritt 7.3.3

Teile jeden Ausdruck in $v (y + K) = - 1$ durch $y + K$ und vereinfache.

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Schritt 7.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $v (y + K) = - 1$ durch $y + K$ .

$\frac{v (y + K)}{y + K} = \frac{- 1}{y + K}$

Schritt 7.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + K$ .

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Schritt 7.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{v (y + K)}{y + K} = \frac{- 1}{y + K}$

Schritt 7.3.3.2.1.2

Dividiere $v$ durch $1$ .

$v = \frac{- 1}{y + K}$

Schritt 7.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$v = - \frac{1}{y + K}$

Schritt 8

Ersetze alle $v$ durch $e^{x + y}$ .

$e^{x + y} = - \frac{1}{y + K}$

Schritt 9

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x + y}) = \ln (- \frac{1}{y + K})$

Schritt 9.2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 9.2.1

Zerlege $\ln (e^{x + y})$ durch Herausziehen von $x + y$ aus dem Logarithmus.

$(x + y) \ln (e) = \ln (- \frac{1}{y + K})$

Schritt 9.2.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$(x + y) \cdot 1 = \ln (- \frac{1}{y + K})$

Schritt 9.2.3

Mutltipliziere $x + y$ mit $1$ .

$x + y = \ln (- \frac{1}{y + K})$

Schritt 9.3

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = \ln (- \frac{1}{y + K}) - y$