Analysis Beispiele

$x d y - (x^{2} y^{2} + y) d x = 0$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Technik der exakten Differentialgleichung entspricht.

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Schritt 1.1

Forme um.

$- (x^{2} y^{2} + y) d x + x d y = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = - (x^{2} y^{2} + y)$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x^{2} y^{2} + y)]$

Schritt 2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- (x^{2} y^{2} + y)$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2} + y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2} + y]$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} y^{2} + y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 2.4

Da $x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x^{2} y^{2}$ nach $y$ gleich $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (x^{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 2.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 \cdot x^{2} y + \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x^{2} y + 1)$

Schritt 2.8

Vereinfache.

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Schritt 2.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x^{2} y) - 1 \cdot 1$

Schritt 2.8.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.8.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 (x^{2} y) - 1 \cdot 1$

Schritt 2.8.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x^{2} y - 1$

Schritt 3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x$ .

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Schritt 3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Schritt 4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 4.1

Setze $- 2 x^{2} y - 1$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $1$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$- 2 x^{2} y - 1 = 1$

Schritt 4.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$- 2 x^{2} y - 1 = 1$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 5

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $1$ .

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 5.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $- 2 x^{2} y - 1$ .

$\frac{1 - (- 2 x^{2} y - 1)}{M}$

Schritt 5.3

Ersetze $M$ durch $- (x^{2} y^{2} + y)$ .

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Schritt 5.3.1

Ersetze $M$ durch $- (x^{2} y^{2} + y)$ .

$\frac{1 - (- 2 x^{2} y - 1)}{- (x^{2} y^{2} + y)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 - (- 2 x^{2} y) - - 1}{- (x^{2} y^{2} + y)}$

Schritt 5.3.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{1 + 2 (x^{2} y) - - 1}{- (x^{2} y^{2} + y)}$

Schritt 5.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1 + 2 (x^{2} y) + 1}{- (x^{2} y^{2} + y)}$

Schritt 5.3.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 x^{2} y + 2}{- (x^{2} y^{2} + y)}$

Schritt 5.3.2.5

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} y + 2$ heraus.

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Schritt 5.3.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} y$ heraus.

$\frac{2 (x^{2} y) + 2}{- (x^{2} y^{2} + y)}$

Schritt 5.3.2.5.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (x^{2} y) + 2 (1)}{- (x^{2} y^{2} + y)}$

Schritt 5.3.2.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2} y) + 2 (1)$ heraus.

$\frac{2 (x^{2} y + 1)}{- (x^{2} y^{2} + y)}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y$ aus $x^{2} y^{2} + y$ heraus.

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $y$ aus $x^{2} y^{2}$ heraus.

$\frac{2 (x^{2} y + 1)}{- (y (x^{2} y) + y)}$

Schritt 5.3.3.2

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{2} y + 1)}{- (y (x^{2} y) + y^{1})}$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$\frac{2 (x^{2} y + 1)}{- (y (x^{2} y) + y \cdot 1)}$

Schritt 5.3.3.4

Faktorisiere $y$ aus $y (x^{2} y) + y \cdot 1$ heraus.

$\frac{2 (x^{2} y + 1)}{- (y (x^{2} y + 1))}$

$\frac{2 (x^{2} y + 1)}{- y (x^{2} y + 1)}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} y + 1$ .

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Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (x^{2} y + 1)}{- y (x^{2} y + 1)}$

Schritt 5.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{- y}$

Schritt 5.3.5

Ersetze $M$ durch $- (x^{2} y^{2} + y)$ .

$- \frac{2}{y}$

Schritt 5.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Schritt 6

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

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Schritt 6.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Schritt 6.2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Schritt 6.4

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Schritt 6.5

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Schritt 6.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.6.1

Vereinfache $- 2 \ln (| y |)$ , indem du $- 2$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Schritt 6.6.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Schritt 6.6.3

Entferne den Absolutwert in ${| y |}^{- 2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Schritt 6.6.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Schritt 7

Multipliziere beide Seiten von $- (x^{2} y^{2} + y) d x + x d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{y^{2}}$ .

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- (x^{2} y^{2} + y)$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- (x^{2} y^{2} + y) \frac{1}{y^{2}} d x + x d y = 0$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(- (x^{2} y^{2}) - y) \frac{1}{y^{2}} d x + x d y = 0$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $- x^{2} y^{2} - y$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{- x^{2} y^{2} - y}{y^{2}} d x + x d y = 0$

Schritt 7.4

Faktorisiere $y$ aus $- x^{2} y^{2} - y$ heraus.

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Schritt 7.4.1

Faktorisiere $y$ aus $- x^{2} y^{2}$ heraus.

$\frac{y (- x^{2} y) - y}{y^{2}} d x + x d y = 0$

Schritt 7.4.2

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$\frac{y (- x^{2} y) + y \cdot - 1}{y^{2}} d x + x d y = 0$

Schritt 7.4.3

Faktorisiere $y$ aus $y (- x^{2} y) + y \cdot - 1$ heraus.

$\frac{y (- x^{2} y - 1)}{y^{2}} d x + x d y = 0$

Schritt 7.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.5.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$\frac{y (- x^{2} y - 1)}{y \cdot y} d x + x d y = 0$

Schritt 7.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (- x^{2} y - 1)}{y \cdot y} d x + x d y = 0$

Schritt 7.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- x^{2} y - 1}{y} d x + x d y = 0$

Schritt 7.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2} y$ heraus.

$\frac{- (x^{2} y) - 1}{y} d x + x d y = 0$

Schritt 7.7

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- (x^{2} y) - 1 (1)}{y} d x + x d y = 0$

Schritt 7.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} y) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{- (x^{2} y + 1)}{y} d x + x d y = 0$

Schritt 7.9

Schreibe $- (x^{2} y + 1)$ als $- 1 (x^{2} y + 1)$ um.

$\frac{- 1 (x^{2} y + 1)}{y} d x + x d y = 0$

Schritt 7.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{2} y + 1}{y} d x + x d y = 0$

Schritt 7.11

Mutltipliziere $x$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{x^{2} y + 1}{y} d x + x \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 7.12

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{x^{2} y + 1}{y} d x + \frac{x}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 8

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x}{y^{2}} d y$

Schritt 9

Integriere $N (x, y) = \frac{x}{y^{2}}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 9.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $x$ aus dem Integral.

$f (x, y) = x \int \frac{1}{y^{2}} d y$

Schritt 9.2

Bringe $y^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$f (x, y) = x \int {(y^{2})}^{- 1} d y$

Schritt 9.3

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 9.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = x \int y^{2 \cdot - 1} d y$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (x, y) = x \int y^{- 2} d y$

Schritt 9.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 2}$ nach $y$ gleich $- y^{- 1}$ .

$f (x, y) = x (- y^{- 1} + C)$

Schritt 9.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.5.1

Schreibe $x (- y^{- 1} + C)$ als $x (- \frac{1}{y}) + C$ um.

$f (x, y) = x (- \frac{1}{y}) + C$

Schritt 9.5.2

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{y}$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + C$

Schritt 10

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + g (x)$

Schritt 11

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{x^{2} y + 1}{y}$

Schritt 12

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 12.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y} + g (x)] = - \frac{x^{2} y + 1}{y}$

Schritt 12.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{x}{y} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} y + 1}{y}$

Schritt 12.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$ .

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Schritt 12.3.1

Da $- \frac{1}{y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x}{y}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} y + 1}{y}$

Schritt 12.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{1}{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} y + 1}{y}$

Schritt 12.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{y} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} y + 1}{y}$

Schritt 12.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$- \frac{1}{y} + \frac{d g}{d x} = - \frac{x^{2} y + 1}{y}$

Schritt 12.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{y} = - \frac{x^{2} y + 1}{y}$

Schritt 13

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 13.1

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 13.1.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 13.1.1.1

Addiere $\frac{x^{2} y + 1}{y}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{y} + \frac{x^{2} y + 1}{y} = 0$

Schritt 13.1.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1 + x^{2} y + 1}{y} = 0$

Schritt 13.1.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 1 + x^{2} y + 1$ .

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Schritt 13.1.1.3.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} y + 0}{y} = 0$

Schritt 13.1.1.3.2

Addiere $x^{2} y$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} y}{y} = 0$

Schritt 13.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 13.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} y}{y} = 0$

Schritt 13.1.1.4.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$\frac{d g}{d x} + x^{2} = 0$

Schritt 13.1.2

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = - x^{2}$

Schritt 14

Bestimme die Stammfunktion von $- x^{2}$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 14.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = - x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x^{2} d x$

Schritt 14.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x^{2} d x$

Schritt 14.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (x) = - \int x^{2} d x$

Schritt 14.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = - (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Schritt 14.5

Schreibe $- (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ als $- \frac{1}{3} x^{3} + C$ um.

$g (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + C$

Schritt 15

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = - \frac{x}{y} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = - \frac{x}{y} - \frac{1}{3} x^{3} + C$

Schritt 16

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} - \frac{x^{3}}{3} + C$