Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} - 1} \cdot (y - 1)$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y - 1}$ .

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 1} (\frac{x}{x^{2} - 1} \cdot (y - 1))$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 1$ .

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $y - 1$ aus $\frac{x}{x^{2} - 1} \cdot (y - 1)$ heraus.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 1} ((y - 1) \cdot \frac{x}{x^{2} - 1})$

Schritt 1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 1} ((y - 1) \cdot \frac{x}{x^{2} - 1})$

Schritt 1.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} - 1}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} - 1^{2}}$

Schritt 1.2.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y - 1} d y = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u_{1} = y - 1$ . Dann ist $d u_{1} = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u_{1} = y - 1$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.2.1.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.2.1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y - 1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u_{2} = (x + 1) (x - 1)$ . Dann ist $d u_{2} = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u_{2} = (x + 1) (x - 1)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]$

Schritt 2.3.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x + 1$ und $g (x) = x - 1$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 2.3.1.1.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 2.3.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 2.3.1.1.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 2.3.1.1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.1.1.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 2.3.1.1.3.4.2

Mutltipliziere $x + 1$ mit $1$ .

$x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 2.3.1.1.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.3.1.1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.3.1.1.3.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + 0)$

Schritt 2.3.1.1.3.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.3.1.1.3.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$x + 1 + (x - 1) \cdot 1$

Schritt 2.3.1.1.3.8.2

Mutltipliziere $x - 1$ mit $1$ .

$x + 1 + x - 1$

Schritt 2.3.1.1.3.8.3

Addiere $x$ und $x$ .

$2 x + 1 - 1$

Schritt 2.3.1.1.3.8.4

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 2.3.1.1.3.8.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$2 x + 0$

Schritt 2.3.1.1.3.8.4.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Schritt 2.3.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Schritt 2.3.6

Ersetze alle $u_{2}$ durch $(x + 1) (x - 1)$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y - 1 |) = \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (| (x + 1) (x - 1) |)$ .

$\ln (| y - 1 |) = \frac{\ln (| (x + 1) (x - 1) |)}{2} + C$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y - 1 |) - \frac{\ln (| (x + 1) (x - 1) |)}{2} = C$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere $(x + 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y - 1 |) - \frac{\ln (| x (x - 1) + 1 (x - 1) |)}{2} = C$

Schritt 3.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y - 1 |) - \frac{\ln (| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |)}{2} = C$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y - 1 |) - \frac{\ln (| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |)}{2} = C$

Schritt 3.3.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\ln (| y - 1 |) - \frac{\ln (| x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |)}{2} = C$

Schritt 3.3.2.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\ln (| y - 1 |) - \frac{\ln (| x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |)}{2} = C$

Schritt 3.3.2.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\ln (| y - 1 |) - \frac{\ln (| x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |)}{2} = C$

Schritt 3.3.2.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\ln (| y - 1 |) - \frac{\ln (| x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |)}{2} = C$

Schritt 3.3.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\ln (| y - 1 |) - \frac{\ln (| x^{2} - x + x - 1 |)}{2} = C$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$\ln (| y - 1 |) - \frac{\ln (| x^{2} + 0 - 1 |)}{2} = C$

Schritt 3.3.2.3

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$\ln (| y - 1 |) - \frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Schritt 3.4

Um $\ln (| y - 1 |)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Schritt 3.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.5.1

Kombiniere $\ln (| y - 1 |)$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y - 1 |) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Schritt 3.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\ln (| y - 1 |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Schritt 3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\ln (| y - 1 |)$ .

$\frac{2 \ln (| y - 1 |) - \ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Schritt 3.7

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.7.1

Vereinfache $\frac{2 \ln (| y - 1 |) - \ln (| x^{2} - 1 |)}{2}$ .

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Schritt 3.7.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1.1.1

Vereinfache $2 \ln (| y - 1 |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{\ln ({| y - 1 |}^{2}) - \ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Schritt 3.7.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| y - 1 |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\frac{\ln ({(y - 1)}^{2}) - \ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Schritt 3.7.1.1.3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{{(y - 1)}^{2}}{| x^{2} - 1 |})}{2} = C$

Schritt 3.7.1.1.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.7.1.1.4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{\ln (\frac{{(y - 1)}^{2}}{| x^{2} - 1^{2} |})}{2} = C$

Schritt 3.7.1.1.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{\ln (\frac{{(y - 1)}^{2}}{| (x + 1) (x - 1) |})}{2} = C$

Schritt 3.7.1.1.4.3

Multipliziere $(x + 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.7.1.1.4.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\ln (\frac{{(y - 1)}^{2}}{| x (x - 1) + 1 (x - 1) |})}{2} = C$

Schritt 3.7.1.1.4.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\ln (\frac{{(y - 1)}^{2}}{| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |})}{2} = C$

Schritt 3.7.1.1.4.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\ln (\frac{{(y - 1)}^{2}}{| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |})}{2} = C$

Schritt 3.7.1.1.4.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.7.1.1.4.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.7.1.1.4.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{\ln (\frac{{(y - 1)}^{2}}{| x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |})}{2} = C$

Schritt 3.7.1.1.4.4.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{\ln (\frac{{(y - 1)}^{2}}{| x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |})}{2} = C$

Schritt 3.7.1.1.4.4.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{\ln (\frac{{(y - 1)}^{2}}{| x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |})}{2} = C$

Schritt 3.7.1.1.4.4.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\ln (\frac{{(y - 1)}^{2}}{| x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |})}{2} = C$

Schritt 3.7.1.1.4.4.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\ln (\frac{{(y - 1)}^{2}}{| x^{2} - x + x - 1 |})}{2} = C$

Schritt 3.7.1.1.4.4.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$\frac{\ln (\frac{{(y - 1)}^{2}}{| x^{2} + 0 - 1 |})}{2} = C$

Schritt 3.7.1.1.4.4.3

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$\frac{\ln (\frac{{(y - 1)}^{2}}{| x^{2} - 1 |})}{2} = C$

Schritt 3.7.1.1.4.5

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{\ln (\frac{{(y - 1)}^{2}}{| x^{2} - 1^{2} |})}{2} = C$

Schritt 3.7.1.1.4.6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{\ln (\frac{{(y - 1)}^{2}}{| (x + 1) (x - 1) |})}{2} = C$

Schritt 3.7.1.2

Schreibe $\frac{\ln (\frac{{(y - 1)}^{2}}{| (x + 1) (x - 1) |})}{2}$ als $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(y - 1)}^{2}}{| (x + 1) (x - 1) |})$ um.

$\frac{1}{2} \ln (\frac{{(y - 1)}^{2}}{| (x + 1) (x - 1) |}) = C$

Schritt 3.7.1.3

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(y - 1)}^{2}}{| (x + 1) (x - 1) |})$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({(\frac{{(y - 1)}^{2}}{| (x + 1) (x - 1) |})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Schritt 3.7.1.4

Wende die Produktregel auf $\frac{{(y - 1)}^{2}}{| (x + 1) (x - 1) |}$ an.

$\ln (\frac{{({(y - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{| (x + 1) (x - 1) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 3.7.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1.5.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(y - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.7.1.5.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{{(y - 1)}^{2 (\frac{1}{2})}}{{| (x + 1) (x - 1) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 3.7.1.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.7.1.5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{{(y - 1)}^{2 (\frac{1}{2})}}{{| (x + 1) (x - 1) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 3.7.1.5.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{{(y - 1)}^{1}}{{| (x + 1) (x - 1) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 3.7.1.5.2

Vereinfache.

$\ln (\frac{y - 1}{{| (x + 1) (x - 1) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 3.7.1.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.7.1.6.1

Multipliziere $(x + 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.7.1.6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (\frac{y - 1}{{| x (x - 1) + 1 (x - 1) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 3.7.1.6.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (\frac{y - 1}{{| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 3.7.1.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (\frac{y - 1}{{| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 3.7.1.6.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.7.1.6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.7.1.6.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\ln (\frac{y - 1}{{| x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 3.7.1.6.2.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\ln (\frac{y - 1}{{| x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 3.7.1.6.2.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\ln (\frac{y - 1}{{| x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 3.7.1.6.2.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\ln (\frac{y - 1}{{| x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 3.7.1.6.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\ln (\frac{y - 1}{{| x^{2} - x + x - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 3.7.1.6.2.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$\ln (\frac{y - 1}{{| x^{2} + 0 - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 3.7.1.6.2.3

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$\ln (\frac{y - 1}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 3.8

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{y - 1}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{C}$

Schritt 3.9

Schreibe $\ln (\frac{y - 1}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{y - 1}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.10

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.10.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{y - 1}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$ um.

$\frac{y - 1}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$

Schritt 3.10.2

Multipliziere beide Seiten mit ${| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y - 1}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.10.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.10.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.10.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y - 1}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.10.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y - 1 = e^{C} {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.10.4

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = e^{C} {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + 1$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = C {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + 1$