Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = c_{1} x^{2} + c_{2} e^{2 x}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (c_{1} x^{2} + c_{2} e^{2 x}) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int c_{1} x^{2} + c_{2} e^{2 x} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int c_{1} x^{2} + c_{2} e^{2 x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int c_{1} x^{2} d x + \int c_{2} e^{2 x} d x$

Schritt 2.3.2

Da $c_{1}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $c_{1}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = c_{1} \int x^{2} d x + \int c_{2} e^{2 x} d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = c_{1} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int c_{2} e^{2 x} d x$

Schritt 2.3.4

Da $c_{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $c_{2}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = c_{1} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + c_{2} \int e^{2 x} d x$

Schritt 2.3.5

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.3.5.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 2.3.5.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 2.3.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = c_{1} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + c_{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.6.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$y + C_{1} = c_{1} (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + c_{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.3.6.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = c_{1} (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + c_{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Schritt 2.3.7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = c_{1} (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + c_{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Schritt 2.3.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $c_{2}$ .

$y + C_{1} = c_{1} (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + \frac{c_{2}}{2} \int e^{u} d u$

Schritt 2.3.9

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$y + C_{1} = c_{1} (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + \frac{c_{2}}{2} (e^{u} + C_{3})$

Schritt 2.3.10

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.10.1

Vereinfache.

$y + C_{1} = \frac{c_{1} x^{3}}{3} + \frac{c_{2}}{2} e^{u} + C_{4}$

Schritt 2.3.10.2

Kombiniere $\frac{c_{2}}{2}$ und $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{c_{1} x^{3}}{3} + \frac{c_{2} e^{u}}{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.11

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} c_{1} x^{3} + \frac{1}{2} c_{2} e^{2 x} + C_{4}$

Schritt 2.3.12

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} c_{1} + \frac{1}{2} e^{2 x} c_{2} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \frac{1}{3} x^{3} c_{1} + \frac{1}{2} e^{2 x} c_{2} + K$