Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d t} + \frac{y}{t} = e^{t}$ , $y (0) = 0$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d t} + M (t) y = Q (t)$ um.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $y$ aus $\frac{y}{t}$ heraus.

$\frac{d y}{d t} + y \frac{1}{t} = e^{t}$

Schritt 1.2

Stelle $y$ und $\frac{1}{t}$ um.

$\frac{d y}{d t} + \frac{1}{t} y = e^{t}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (t) d t}$ , wobei $P (t) = \frac{1}{t}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{1}{t} d t}$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{t}$ nach $t$ ist $\ln (| t |)$ .

$e^{\ln (| t |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{\ln (t)}$

Schritt 2.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$t$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $t$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $t$ .

$t \frac{d y}{d t} + t (\frac{1}{t} y) = t e^{t}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{t}$ und $y$ .

$t \frac{d y}{d t} + t \frac{y}{t} = t e^{t}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$t \frac{d y}{d t} + t \frac{y}{t} = t e^{t}$

Schritt 3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$t \frac{d y}{d t} + y = t e^{t}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d t} [t y] = t e^{t}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d t} [t y] d t = \int t e^{t} d t$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$t y = \int t e^{t} d t$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = t$ und $d v = e^{t}$ .

$t y = t e^{t} - \int e^{t} d t$

Schritt 7.2

Das Integral von $e^{t}$ nach $t$ ist $e^{t}$ .

$t y = t e^{t} - (e^{t} + C)$

Schritt 7.3

Vereinfache.

$t y = t e^{t} - e^{t} + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $t y = t e^{t} - e^{t} + C$ durch $t$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $t y = t e^{t} - e^{t} + C$ durch $t$ .

$\frac{t y}{t} = \frac{t e^{t}}{t} + \frac{- e^{t}}{t} + \frac{C}{t}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t y}{t} = \frac{t e^{t}}{t} + \frac{- e^{t}}{t} + \frac{C}{t}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{t e^{t}}{t} + \frac{- e^{t}}{t} + \frac{C}{t}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

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Schritt 8.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{t e^{t}}{t} + \frac{- e^{t}}{t} + \frac{C}{t}$

Schritt 8.3.1.1.2

Dividiere $e^{t}$ durch $1$ .

$y = e^{t} + \frac{- e^{t}}{t} + \frac{C}{t}$

Schritt 8.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = e^{t} - \frac{e^{t}}{t} + \frac{C}{t}$

Schritt 9

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $0$ für $t$ und $0$ für $y$ in $y = e^{t} - \frac{e^{t}}{t} + \frac{C}{t}$ ersetzt wird.

$0 = e^{0} - \frac{e^{0}}{0} + \frac{C}{0}$

Schritt 10

Die Gleichung hat einen nicht definierten Bruch.

$Undefiniert$