Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + 3 y = 6 e^{5 x}$ ; with $y (0) = 5$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = 3$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int 3 d x}$

Schritt 1.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{3 x + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{3 x}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{3 x}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + e^{3 x} (3 y) = e^{3 x} (6 e^{5 x})$

Schritt 2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} (6 e^{5 x})$

Schritt 2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 6 e^{3 x} e^{5 x}$

Schritt 2.4

Multipliziere $e^{3 x}$ mit $e^{5 x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.1

Bewege $e^{5 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 6 (e^{5 x} e^{3 x})$

Schritt 2.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 6 e^{5 x + 3 x}$

Schritt 2.4.3

Addiere $5 x$ und $3 x$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 6 e^{8 x}$

Schritt 2.5

Stelle die Faktoren in $e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 6 e^{8 x}$ um.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 y e^{3 x} = 6 e^{8 x}$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] = 6 e^{8 x}$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} y] d x = \int 6 e^{8 x} d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{3 x} y = \int 6 e^{8 x} d x$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$e^{3 x} y = 6 \int e^{8 x} d x$

Schritt 6.2

Sei $u = 8 x$ . Dann ist $d u = 8 d x$ , folglich $\frac{1}{8} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.2.1

Es sei $u = 8 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Differenziere $8 x$ .

$\frac{d}{d x} [8 x]$

Schritt 6.2.1.2

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 \cdot 1$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$8$

Schritt 6.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{3 x} y = 6 \int e^{u} \frac{1}{8} d u$

Schritt 6.3

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{8}$ .

$e^{3 x} y = 6 \int \frac{e^{u}}{8} d u$

Schritt 6.4

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{8}$ aus dem Integral.

$e^{3 x} y = 6 (\frac{1}{8} \int e^{u} d u)$

Schritt 6.5

Vereinfache.

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Schritt 6.5.1

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $6$ .

$e^{3 x} y = \frac{6}{8} \int e^{u} d u$

Schritt 6.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $8$ .

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Schritt 6.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$e^{3 x} y = \frac{2 (3)}{8} \int e^{u} d u$

Schritt 6.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$e^{3 x} y = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} \int e^{u} d u$

Schritt 6.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{3 x} y = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} \int e^{u} d u$

Schritt 6.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{3 x} y = \frac{3}{4} \int e^{u} d u$

Schritt 6.6

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{3 x} y = \frac{3}{4} (e^{u} + C)$

Schritt 6.7

Vereinfache.

$e^{3 x} y = \frac{3}{4} e^{u} + C$

Schritt 6.8

Ersetze alle $u$ durch $8 x$ .

$e^{3 x} y = \frac{3}{4} e^{8 x} + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $e^{3 x} y = \frac{3}{4} e^{8 x} + C$ durch $e^{3 x}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{3 x} y = \frac{3}{4} e^{8 x} + C$ durch $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{\frac{3}{4} e^{8 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{3 x}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{\frac{3}{4} e^{8 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{3}{4} e^{8 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{8 x}$ und $e^{3 x}$ .

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Schritt 7.3.1.1.1

Faktorisiere $e^{3 x}$ aus $\frac{3}{4} e^{8 x}$ heraus.

$y = \frac{e^{3 x} (\frac{3}{4} e^{5 x})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.1.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$y = \frac{e^{3 x} (\frac{3}{4} e^{5 x})}{e^{3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{e^{3 x} (\frac{3}{4} e^{5 x})}{e^{3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\frac{3}{4} e^{5 x}}{1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.1.1.2.4

Dividiere $\frac{3}{4} e^{5 x}$ durch $1$ .

$y = \frac{3}{4} e^{5 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.3.1.2

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $e^{5 x}$ .

$y = \frac{3 e^{5 x}}{4} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 8

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $0$ für $x$ und $5$ für $y$ in $y = \frac{3 e^{5 x}}{4} + \frac{C}{e^{3 x}}$ ersetzt wird.

$5 = \frac{3 e^{5 \cdot 0}}{4} + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}}$

Schritt 9

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 9.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{3 e^{5 \cdot 0}}{4} + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 5$ um.

$\frac{3 e^{5 \cdot 0}}{4} + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 5$

Schritt 9.2

Vereinfache $\frac{3 e^{5 \cdot 0}}{4} + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}}$ .

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{3 e^{0}}{4} + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 5$

Schritt 9.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.2.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{3 \cdot 1}{4} + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 5$

Schritt 9.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{3}{4} + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 5$

Schritt 9.2.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.2.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{3}{4} + \frac{C}{e^{0}} = 5$

Schritt 9.2.2.3.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{3}{4} + \frac{C}{1} = 5$

Schritt 9.2.2.4

Dividiere $C$ durch $1$ .

$\frac{3}{4} + C = 5$

Schritt 9.3

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.3.1

Subtrahiere $\frac{3}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C = 5 - \frac{3}{4}$

Schritt 9.3.2

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$C = 5 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4}$

Schritt 9.3.3

Kombiniere $5$ und $\frac{4}{4}$ .

$C = \frac{5 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4}$

Schritt 9.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$C = \frac{5 \cdot 4 - 3}{4}$

Schritt 9.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.3.5.1

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$C = \frac{20 - 3}{4}$

Schritt 9.3.5.2

Subtrahiere $3$ von $20$ .

$C = \frac{17}{4}$

Schritt 10

Setze $\frac{17}{4}$ für $C$ in $y = \frac{3 e^{5 x}}{4} + \frac{C}{e^{3 x}}$ ein und vereinfache.

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Schritt 10.1

Ersetze $C$ durch $\frac{17}{4}$ .

$y = \frac{3 e^{5 x}}{4} + \frac{\frac{17}{4}}{e^{3 x}}$

Schritt 10.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{3 e^{5 x}}{4} + \frac{17}{4} \cdot \frac{1}{e^{3 x}}$

Schritt 10.2.2

Kombinieren.

$y = \frac{3 e^{5 x}}{4} + \frac{17 \cdot 1}{4 e^{3 x}}$

Schritt 10.2.3

Mutltipliziere $17$ mit $1$ .

$y = \frac{3 e^{5 x}}{4} + \frac{17}{4 e^{3 x}}$