Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x) {(2 + y)}^{2}$ , $y (π) = - 5$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{{(2 + y)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} (\sec^{2} (x) {(2 + y)}^{2})$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(2 + y)}^{2}$ .

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere ${(2 + y)}^{2}$ aus $\sec^{2} (x) {(2 + y)}^{2}$ heraus.

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} ({(2 + y)}^{2} \sec^{2} (x))$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} ({(2 + y)}^{2} \sec^{2} (x))$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x)$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} d y = \sec^{2} (x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = 2 + y$ . Dann ist $d u = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = 2 + y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $2 + y$ .

$\frac{d}{d y} [2 + y]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 + y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.1.1.3

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 1$

Schritt 2.2.1.1.5

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u^{2}} d u = \int \sec^{2} (x) d x$

Schritt 2.2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.2.1

Bringe $u^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int \sec^{2} (x) d x$

Schritt 2.2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u = \int \sec^{2} (x) d x$

Schritt 2.2.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u = \int \sec^{2} (x) d x$

Schritt 2.2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 2}$ nach $u$ gleich $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

Schritt 2.2.4

Schreibe $- u^{- 1} + C_{1}$ als $- \frac{1}{u} + C_{1}$ um.

$- \frac{1}{u} + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

Schritt 2.2.5

Ersetze alle $u$ durch $2 + y$ .

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

Schritt 2.3

Da die Ableitung von $\tan (x)$ gleich $\sec^{2} (x)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (x)$ gleich $\tan (x)$ .

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \tan (x) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- \frac{1}{2 + y} = \tan (x) + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$2 + y, 1, 1$

Schritt 3.1.2

Entferne die Klammern.

$2 + y, 1, 1$

Schritt 3.1.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$2 + y$

Schritt 3.2

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{2 + y} = \tan (x) + K$ mit $2 + y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{2 + y} = \tan (x) + K$ mit $2 + y$ .

$- \frac{1}{2 + y} (2 + y) = \tan (x) (2 + y) + K (2 + y)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 + y$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2 + y}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{2 + y} (2 + y) = \tan (x) (2 + y) + K (2 + y)$

Schritt 3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{2 + y} (2 + y) = \tan (x) (2 + y) + K (2 + y)$

Schritt 3.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = \tan (x) (2 + y) + K (2 + y)$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 = \tan (x) \cdot 2 + \tan (x) y + K (2 + y)$

Schritt 3.2.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\tan (x)$ .

$- 1 = 2 \cdot \tan (x) + \tan (x) y + K (2 + y)$

Schritt 3.2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 = 2 \tan (x) + \tan (x) y + K \cdot 2 + K y$

Schritt 3.2.3.1.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $K$ .

$- 1 = 2 \tan (x) + \tan (x) y + 2 K + K y$

Schritt 3.2.3.2

Stelle die Faktoren in $2 \tan (x) + \tan (x) y + 2 K + K y$ um.

$- 1 = 2 \tan (x) + y \tan (x) + 2 K + K y$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $2 \tan (x) + y \tan (x) + 2 K + K y = - 1$ um.

$2 \tan (x) + y \tan (x) + 2 K + K y = - 1$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Subtrahiere $2 \tan (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y \tan (x) + 2 K + K y = - 1 - 2 \tan (x)$

Schritt 3.3.2.2

Subtrahiere $2 K$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y \tan (x) + K y = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y \tan (x) + K y$ heraus.

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Schritt 3.3.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y \tan (x)$ heraus.

$y (\tan (x)) + K y = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$

Schritt 3.3.3.2

Faktorisiere $y$ aus $K y$ heraus.

$y (\tan (x)) + y K = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$

Schritt 3.3.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y (\tan (x)) + y K$ heraus.

$y (\tan (x) + K) = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$

Schritt 3.3.4

Teile jeden Ausdruck in $y (\tan (x) + K) = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$ durch $\tan (x) + K$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (\tan (x) + K) = - 1 - 2 \tan (x) - 2 K$ durch $\tan (x) + K$ .

$\frac{y (\tan (x) + K)}{\tan (x) + K} = \frac{- 1}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 K}{\tan (x) + K}$

Schritt 3.3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\tan (x) + K$ .

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Schritt 3.3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (\tan (x) + K)}{\tan (x) + K} = \frac{- 1}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 K}{\tan (x) + K}$

Schritt 3.3.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 1}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 K}{\tan (x) + K}$

Schritt 3.3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.4.3.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.3.4.3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.4.3.1.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{1}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 K}{\tan (x) + K}$

Schritt 3.3.4.3.1.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{1}{\tan (x) + K} - \frac{2 \tan (x)}{\tan (x) + K} + \frac{- 2 K}{\tan (x) + K}$

Schritt 3.3.4.3.1.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{1}{\tan (x) + K} - \frac{2 \tan (x)}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

Schritt 3.3.4.3.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- 1 - 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

Schritt 3.3.4.3.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.4.3.1.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 - 2 \tan (x)$ heraus.

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Schritt 3.3.4.3.1.3.1.1

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$y = \frac{- 1 (1) - 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

Schritt 3.3.4.3.1.3.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 \tan (x)$ heraus.

$y = \frac{- 1 (1) - (2 \tan (x))}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

Schritt 3.3.4.3.1.3.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (2 \tan (x))$ heraus.

$y = \frac{- 1 (1 + 2 \tan (x))}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

Schritt 3.3.4.3.1.3.1.4

Schreibe $- 1 (1 + 2 \tan (x))$ als $- (1 + 2 \tan (x))$ um.

$y = \frac{- (1 + 2 \tan (x))}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

Schritt 3.3.4.3.1.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{1 + 2 \tan (x)}{\tan (x) + K} - \frac{2 K}{\tan (x) + K}$

Schritt 3.3.4.3.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- (1 + 2 \tan (x)) - 2 K}{\tan (x) + K}$

Schritt 3.3.4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.4.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 1 \cdot 1 - (2 \tan (x)) - 2 K}{\tan (x) + K}$

Schritt 3.3.4.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y = \frac{- 1 - (2 \tan (x)) - 2 K}{\tan (x) + K}$

Schritt 3.3.4.3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 1 - 2 \tan (x) - 2 K}{\tan (x) + K}$

Schritt 3.3.4.3.3

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.3.4.3.3.1

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$y = \frac{- 1 (1) - 2 \tan (x) - 2 K}{\tan (x) + K}$

Schritt 3.3.4.3.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 \tan (x)$ heraus.

$y = \frac{- 1 (1) - (2 \tan (x)) - 2 K}{\tan (x) + K}$

Schritt 3.3.4.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (2 \tan (x))$ heraus.

$y = \frac{- 1 (1 + 2 \tan (x)) - 2 K}{\tan (x) + K}$

Schritt 3.3.4.3.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 K$ heraus.

$y = \frac{- 1 (1 + 2 \tan (x)) - (2 K)}{\tan (x) + K}$

Schritt 3.3.4.3.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1 + 2 \tan (x)) - (2 K)$ heraus.

$y = \frac{- 1 (1 + 2 \tan (x) + 2 K)}{\tan (x) + K}$

Schritt 3.3.4.3.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{1 + 2 \tan (x) + 2 K}{\tan (x) + K}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = - \frac{1 + 2 \tan (x) + K}{\tan (x) + K}$

Schritt 5

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $π$ für $x$ und $- 5$ für $y$ in $y = - \frac{1 + 2 \tan (x) + K}{\tan (x) + K}$ ersetzt wird.

$- 5 = - \frac{1 + 2 \tan (π) + K}{\tan (π) + K}$

Schritt 6

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{1 + 2 \tan (π) + K}{\tan (π) + K} = - 5$ um.

$- \frac{1 + 2 \tan (π) + K}{\tan (π) + K} = - 5$

Schritt 6.2

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 6.2.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Tangens im zweiten Quadranten negativ ist.

$- \frac{1 + 2 (- \tan (0)) + K}{\tan (π) + K} = - 5$

Schritt 6.2.2

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$- \frac{1 + 2 (- 0) + K}{\tan (π) + K} = - 5$

Schritt 6.2.3

Multipliziere $2 (- 0)$ .

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Schritt 6.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- \frac{1 + 2 \cdot 0 + K}{\tan (π) + K} = - 5$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$- \frac{1 + 0 + K}{\tan (π) + K} = - 5$

Schritt 6.2.4

Addiere $1$ und $0$ .

$- \frac{1 + K}{\tan (π) + K} = - 5$

Schritt 6.2.5

$- \frac{1 + K}{- \tan (0) + K} = - 5$

Schritt 6.2.6

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$- \frac{1 + K}{- 0 + K} = - 5$

Schritt 6.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- \frac{1 + K}{0 + K} = - 5$

Schritt 6.2.8

Addiere $0$ und $K$ .

$- \frac{1 + K}{K} = - 5$

Schritt 6.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$K, 1$

Schritt 6.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$K$

Schritt 6.4

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1 + K}{K} = - 5$ mit $K$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 6.4.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1 + K}{K} = - 5$ mit $K$ .

$- \frac{1 + K}{K} K = - 5 K$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $K$ .

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Schritt 6.4.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1 + K}{K}$ in den Zähler.

$\frac{- (1 + K)}{K} K = - 5 K$

Schritt 6.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- (1 + K)}{K} K = - 5 K$

Schritt 6.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- (1 + K) = - 5 K$

Schritt 6.4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 \cdot 1 - K = - 5 K$

Schritt 6.4.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 - K = - 5 K$

Schritt 6.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 6.5.1

Bringe alle Terme, die $K$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.5.1.1

Addiere $5 K$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 1 - K + 5 K = 0$

Schritt 6.5.1.2

Addiere $- K$ und $5 K$ .

$- 1 + 4 K = 0$

Schritt 6.5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 K = 1$

Schritt 6.5.3

Teile jeden Ausdruck in $4 K = 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 K = 1$ durch $4$ .

$\frac{4 K}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 6.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 K}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 6.5.3.2.1.2

Dividiere $K$ durch $1$ .

$K = \frac{1}{4}$

Schritt 7

Setze $\frac{1}{4}$ für $K$ in $y = - \frac{1 + 2 \tan (x) + K}{\tan (x) + K}$ ein und vereinfache.

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Schritt 7.1

Ersetze $K$ durch $\frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{1 + 2 \tan (x) + \frac{1}{4}}{\tan (x) + K}$

Schritt 7.2

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $4$ .

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $\frac{1 + 2 \tan (x) + \frac{1}{4}}{\tan (x) + K}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$y = - (\frac{4}{4} \cdot \frac{1 + 2 \tan (x) + \frac{1}{4}}{\tan (x) + K})$

Schritt 7.2.2

Kombinieren.

$y = - \frac{4 (1 + 2 \tan (x) + \frac{1}{4})}{4 (\tan (x) + K)}$

Schritt 7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{4 \cdot 1 + 4 (2 \tan (x)) + 4 (\frac{1}{4})}{4 \tan (x) + 4 K}$

Schritt 7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{4 \cdot 1 + 4 (2 \tan (x)) + 4 (\frac{1}{4})}{4 \tan (x) + 4 K}$

Schritt 7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{4 \cdot 1 + 4 (2 \tan (x)) + 1}{4 \tan (x) + 4 K}$

Schritt 7.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$y = - \frac{4 + 4 \cdot 2 \tan (x) + 1}{4 \tan (x) + 4 K}$

Schritt 7.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$y = - \frac{4 + 8 \tan (x) + 1}{4 \tan (x) + 4 K}$

Schritt 7.5.3

Addiere $4$ und $1$ .

$y = - \frac{5 + 8 \tan (x)}{4 \tan (x) + 4 K}$

Schritt 7.6

Faktorisiere $4$ aus $4 \tan (x) + 4 K$ heraus.

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Schritt 7.6.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \tan (x)$ heraus.

$y = - \frac{5 + 8 \tan (x)}{4 (\tan (x)) + 4 K}$

Schritt 7.6.2

Faktorisiere $4$ aus $4 K$ heraus.

$y = - \frac{5 + 8 \tan (x)}{4 (\tan (x)) + 4 (K)}$

Schritt 7.6.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (\tan (x)) + 4 (K)$ heraus.

$y = - \frac{5 + 8 \tan (x)}{4 (\tan (x) + K)}$