Analysis Beispiele

$(x^{2} + 1) d x + x^{2} y^{2} d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $(x^{2} + 1) d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} y^{2} d y = - (x^{2} + 1) d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} (- (x^{2} + 1)) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} y^{2}$ heraus.

$\frac{1}{x^{2}} (x^{2} (y^{2})) d y = \frac{1}{x^{2}} (- (x^{2} + 1)) d x$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} (- (x^{2} + 1)) d x$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} d y = \frac{1}{x^{2}} (- (x^{2} + 1)) d x$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y^{2} d y = - \frac{1}{x^{2}} (x^{2} + 1) d x$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} d y = (- \frac{1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1) d x$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x^{2}}$ in den Zähler.

$y^{2} d y = (\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1) d x$

Schritt 3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} d y = (\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1) d x$

Schritt 3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} d y = (- 1 - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1) d x$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y^{2} d y = (- 1 - \frac{1}{x^{2}}) d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y^{2} d y = \int - 1 - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - 1 - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - 1 d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.3.2

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.3.4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.3.4.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 4.3.4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.3.4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 4.3.4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - \int x^{- 2} d x$

Schritt 4.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - (- x^{- 1} + C_{3})$

Schritt 4.3.6

Vereinfache.

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Schritt 4.3.6.1

Vereinfache.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x - - \frac{1}{x} + C_{4}$

Schritt 4.3.6.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.6.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + 1 \frac{1}{x} + C_{4}$

Schritt 4.3.6.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + \frac{1}{x} + C_{4}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{3} y^{3} = - x + \frac{1}{x} + K$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- x + \frac{1}{x} + K)$

Schritt 5.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- x + \frac{1}{x} + K)$

Schritt 5.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- x + \frac{1}{x} + K)$

Schritt 5.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} = 3 (- x + \frac{1}{x} + K)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache $3 (- x + \frac{1}{x} + K)$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{3} = 3 (- x) + 3 \frac{1}{x} + 3 K$

Schritt 5.2.2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y^{3} = - 3 x + 3 \frac{1}{x} + 3 K$

Schritt 5.2.2.1.2.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{x}$ .

$y^{3} = - 3 x + \frac{3}{x} + 3 K$

Schritt 5.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{- 3 x + \frac{3}{x} + 3 K}$

Schritt 5.4

Vereinfache $\sqrt[3]{- 3 x + \frac{3}{x} + 3 K}$ .

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x + \frac{3}{x} + 3 K$ heraus.

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Schritt 5.4.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x$ heraus.

$y = \sqrt[3]{3 (- x) + \frac{3}{x} + 3 K}$

Schritt 5.4.1.2

Faktorisiere $3$ aus $\frac{3}{x}$ heraus.

$y = \sqrt[3]{3 (- x) + 3 \frac{1}{x} + 3 K}$

Schritt 5.4.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (- x) + 3 \frac{1}{x}$ heraus.

$y = \sqrt[3]{3 (- x + \frac{1}{x}) + 3 K}$

Schritt 5.4.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (- x + \frac{1}{x}) + 3 K$ heraus.

$y = \sqrt[3]{3 (- x + \frac{1}{x} + K)}$

Schritt 5.4.2

Um $- x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- x \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} + K)}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.4.3.1

Kombiniere $- x$ und $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{- x \cdot x}{x} + \frac{1}{x} + K)}$

Schritt 5.4.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{- x \cdot x + 1}{x} + K)}$

Schritt 5.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{- x \cdot x + 1^{2}}{x} + K)}$

Schritt 5.4.4.2

Schreibe $x \cdot x$ als $x^{2}$ um.

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{- x^{2} + 1^{2}}{x} + K)}$

Schritt 5.4.4.3

Stelle $- x^{2}$ und $1^{2}$ um.

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{1^{2} - x^{2}}{x} + K)}$

Schritt 5.4.4.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{(1 + x) (1 - x)}{x} + K)}$

Schritt 5.4.5

Um $K$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{(1 + x) (1 - x)}{x} + \frac{K x}{x})}$

Schritt 5.4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{(1 + x) (1 - x) + K x}{x}}$

Schritt 5.4.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.7.1

Multipliziere $(1 + x) (1 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.4.7.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 (1 - x) + x (1 - x) + K x}{x}}$

Schritt 5.4.7.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) + K x}{x}}$

Schritt 5.4.7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + K x}{x}}$

Schritt 5.4.7.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.4.7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.7.2.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + K x}{x}}$

Schritt 5.4.7.2.1.2

Mutltipliziere $- x$ mit $1$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x \cdot 1 + x (- x) + K x}{x}}$

Schritt 5.4.7.2.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x + x (- x) + K x}{x}}$

Schritt 5.4.7.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x - x \cdot x + K x}{x}}$

Schritt 5.4.7.2.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.4.7.2.1.5.1

Bewege $x$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x - (x \cdot x) + K x}{x}}$

Schritt 5.4.7.2.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x - x^{2} + K x}{x}}$

Schritt 5.4.7.2.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 + 0 - x^{2} + K x}{x}}$

Schritt 5.4.7.2.3

Addiere $1$ und $0$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x^{2} + K x}{x}}$

Schritt 5.4.8

Kombiniere $3$ und $\frac{1 - x^{2} + K x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (1 - x^{2} + K x)}{x}}$

Schritt 5.4.9

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{3 (1 - x^{2} + K x)}{x}}$ als $\frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$

Schritt 5.4.10

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Schritt 5.4.11

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.4.11.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Schritt 5.4.11.2

Potenziere $\sqrt[3]{x}$ mit $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Schritt 5.4.11.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

Schritt 5.4.11.4

Addiere $1$ und $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Schritt 5.4.11.5

Schreibe ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ als $x$ um.

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Schritt 5.4.11.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 5.4.11.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 5.4.11.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 5.4.11.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.4.11.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 5.4.11.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{1}}$

Schritt 5.4.11.5.5

Vereinfache.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x}$

Schritt 5.4.12

Schreibe ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ als $\sqrt[3]{x^{2}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$

Schritt 5.4.13

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x) x^{2}}}{x}$

Schritt 5.4.14

Stelle die Faktoren in $\frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x) x^{2}}}{x}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (1 - x^{2} + K x)}}{x}$