Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = \frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Schreibe $\frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$ als ${(\frac{\sec (x)}{\tan (x)})}^{2}$ um.

$y + C_{1} = \int {(\frac{\sec (x)}{\tan (x)})}^{2} d x$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$y + C_{1} = \int {(\frac{\sec (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}})}^{2} d x$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$y + C_{1} = \int {(\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}})}^{2} d x$

Schritt 2.3.4

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ zu dividieren.

$y + C_{1} = \int {(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} d x$

Schritt 2.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 2.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \int {(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} d x$

Schritt 2.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = \int {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} d x$

Schritt 2.3.6

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$y + C_{1} = \int \csc^{2} (x) d x$

Schritt 2.3.7

Da die Ableitung von $- \cot (x)$ gleich $\csc^{2} (x)$ ist, ist das Integral von $\csc^{2} (x)$ gleich $- \cot (x)$ .

$y + C_{1} = - \cot (x) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = - \cot (x) + K$