Analysis Beispiele

$\frac{d y (t)}{d t} = 2 t^{2}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Faktoriere $\frac{d y}{d t}$ aus.

$t \frac{d y}{d t} = 2 t^{2}$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $t \frac{d y}{d t} = 2 t^{2}$ durch $t$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $t \frac{d y}{d t} = 2 t^{2}$ durch $t$ .

$\frac{t \frac{d y}{d t}}{t} = \frac{2 t^{2}}{t}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t \frac{d y}{d t}}{t} = \frac{2 t^{2}}{t}$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d t}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{2 t^{2}}{t}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $t^{2}$ und $t$ .

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Schritt 1.2.3.1.1

Faktorisiere $t$ aus $2 t^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d t} = \frac{t (2 t)}{t}$

Schritt 1.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.1.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{t (2 t)}{t^{1}}$

Schritt 1.2.3.1.2.2

Faktorisiere $t$ aus $t^{1}$ heraus.

$\frac{d y}{d t} = \frac{t (2 t)}{t \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d t} = \frac{t (2 t)}{t \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d t} = \frac{2 t}{1}$

Schritt 1.2.3.1.2.5

Dividiere $2 t$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d t} = 2 t$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$d y = 2 t d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 2 t d t$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 2 t d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 2 \int t d t$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2})$ als $2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C_{2}$ um.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} t^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} t^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = 1 t^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.3

Mutltipliziere $t^{2}$ mit $1$ .

$y + C_{1} = t^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = t^{2} + K$