Analysis Beispiele

$4 y \frac{d y}{d x} = 5 x^{2}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$4 y d y = 5 x^{2} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int 4 y d y = \int 5 x^{2} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int y d y = \int 5 x^{2} d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int 5 x^{2} d x$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.2.3.1

Schreibe $4 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ als $4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ um.

$4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

Schritt 2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 2.2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2} y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

Schritt 2.2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

Schritt 2.2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

Schritt 2.2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{1} y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

Schritt 2.2.3.2.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 y^{2} + C_{1} = \int 5 x^{2} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$2 y^{2} + C_{1} = 5 \int x^{2} d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 y^{2} + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ als $5 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ um.

$2 y^{2} + C_{1} = 5 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{3}$ .

$2 y^{2} + C_{1} = \frac{5}{3} x^{3} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$2 y^{2} = \frac{5}{3} x^{3} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y^{2} = \frac{5}{3} x^{3} + K$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y^{2} = \frac{5}{3} x^{3} + K$ durch $2$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{\frac{5}{3} x^{3}}{2} + \frac{K}{2}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{\frac{5}{3} x^{3}}{2} + \frac{K}{2}$

Schritt 3.1.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{\frac{5}{3} x^{3}}{2} + \frac{K}{2}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.3.1.1

Kombiniere $\frac{5}{3}$ und $x^{3}$ .

$y^{2} = \frac{\frac{5 x^{3}}{3}}{2} + \frac{K}{2}$

Schritt 3.1.3.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y^{2} = \frac{5 x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{K}{2}$

Schritt 3.1.3.1.3

Kombinieren.

$y^{2} = \frac{5 x^{3} \cdot 1}{3 \cdot 2} + \frac{K}{2}$

Schritt 3.1.3.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$y^{2} = \frac{5 x^{3}}{3 \cdot 2} + \frac{K}{2}$

Schritt 3.1.3.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$y^{2} = \frac{5 x^{3}}{6} + \frac{K}{2}$

Schritt 3.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3}}{6} + \frac{K}{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{5 x^{3}}{6} + \frac{K}{2}}$ .

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Schritt 3.3.1

Um $\frac{K}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3}}{6} + \frac{K}{2} \cdot \frac{3}{3}}$

Schritt 3.3.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{K}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3}}{6} + \frac{K \cdot 3}{2 \cdot 3}}$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3}}{6} + \frac{K \cdot 3}{6}}$

Schritt 3.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3} + K \cdot 3}{6}}$

Schritt 3.3.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{3} + 3 K}{6}}$

Schritt 3.3.5

Schreibe $\sqrt{\frac{5 x^{3} + 3 K}{6}}$ als $\frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{\sqrt{6}}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{\sqrt{6}}$

Schritt 3.3.6

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{\sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Schritt 3.3.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.7.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K}}{\sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Schritt 3.3.7.2

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Schritt 3.3.7.3

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Schritt 3.3.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.3.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Schritt 3.3.7.6

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 3.3.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.3.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.3.7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.3.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.3.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K} \sqrt{6}}{6^{1}}$

Schritt 3.3.7.6.5

Berechne den Exponenten.

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{3} + 3 K} \sqrt{6}}{6}$

Schritt 3.3.8

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \pm \frac{\sqrt{(5 x^{3} + 3 K) \cdot 6}}{6}$

Schritt 3.3.9

Stelle die Faktoren in $\pm \frac{\sqrt{(5 x^{3} + 3 K) \cdot 6}}{6}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (5 x^{3} + 3 K)}}{6}$

Schritt 3.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{6 (5 x^{3} + 3 K)}}{6}$

Schritt 3.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{6 (5 x^{3} + 3 K)}}{6}$

Schritt 3.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{6 (5 x^{3} + 3 K)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (5 x^{3} + 3 K)}}{6}$

$y = \frac{\sqrt{6 (5 x^{3} + 3 K)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (5 x^{3} + 3 K)}}{6}$

$y = \frac{\sqrt{6 (5 x^{3} + 3 K)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (5 x^{3} + 3 K)}}{6}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\sqrt{6 (5 x^{3} + K)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (5 x^{3} + K)}}{6}$