Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{2} y = \frac{3}{2}$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{1}{2}$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{1}{2} d x}$

Schritt 1.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{\frac{1}{2} x + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{\frac{1}{2} x}$

Schritt 1.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$e^{\frac{x}{2}}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{\frac{x}{2}}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{\frac{x}{2}}$ .

$e^{\frac{x}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} y) = e^{\frac{x}{2}} \frac{3}{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{\frac{x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{2} e^{\frac{x}{2}} y = e^{\frac{x}{2}} \frac{3}{2}$

Schritt 2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{\frac{x}{2}}$ .

$e^{\frac{x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} y = e^{\frac{x}{2}} \frac{3}{2}$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ und $y$ .

$e^{\frac{x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{\frac{x}{2}} y}{2} = e^{\frac{x}{2}} \frac{3}{2}$

Schritt 2.3

Kombiniere $e^{\frac{x}{2}}$ und $\frac{3}{2}$ .

$e^{\frac{x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{\frac{x}{2}} y}{2} = \frac{e^{\frac{x}{2}} \cdot 3}{2}$

Schritt 2.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{\frac{x}{2}}$ .

$e^{\frac{x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{\frac{x}{2}} y}{2} = \frac{3 \cdot e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Schritt 2.5

Stelle die Faktoren in $e^{\frac{x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{\frac{x}{2}} y}{2} = \frac{3 e^{\frac{x}{2}}}{2}$ um.

$e^{\frac{x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y e^{\frac{x}{2}}}{2} = \frac{3 e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}} y] = \frac{3 e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}} y] d x = \int \frac{3 e^{\frac{x}{2}}}{2} d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{\frac{x}{2}} y = \int \frac{3 e^{\frac{x}{2}}}{2} d x$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Da $\frac{3}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{3}{2}$ aus dem Integral.

$e^{\frac{x}{2}} y = \frac{3}{2} \int e^{\frac{x}{2}} d x$

Schritt 6.2

Sei $u = \frac{x}{2}$ . Dann ist $d u = \frac{1}{2} d x$ , folglich $2 d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.2.1

Es sei $u = \frac{x}{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Differenziere $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Schritt 6.2.1.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 6.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{\frac{x}{2}} y = \frac{3}{2} \int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{2}$ zu dividieren.

$e^{\frac{x}{2}} y = \frac{3}{2} \int e^{u} (1 \cdot 2) d u$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$e^{\frac{x}{2}} y = \frac{3}{2} \int e^{u} \cdot 2 d u$

Schritt 6.3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{u}$ .

$e^{\frac{x}{2}} y = \frac{3}{2} \int 2 e^{u} d u$

Schritt 6.4

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{\frac{x}{2}} y = \frac{3}{2} (2 \int e^{u} d u)$

Schritt 6.5

Vereinfache.

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Schritt 6.5.1

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{2}$ .

$e^{\frac{x}{2}} y = \frac{2 \cdot 3}{2} \int e^{u} d u$

Schritt 6.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$e^{\frac{x}{2}} y = \frac{6}{2} \int e^{u} d u$

Schritt 6.5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 6.5.3.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$e^{\frac{x}{2}} y = \frac{2 \cdot 3}{2} \int e^{u} d u$

Schritt 6.5.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.5.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$e^{\frac{x}{2}} y = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int e^{u} d u$

Schritt 6.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{x}{2}} y = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Schritt 6.5.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{\frac{x}{2}} y = \frac{3}{1} \int e^{u} d u$

Schritt 6.5.3.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$e^{\frac{x}{2}} y = 3 \int e^{u} d u$

Schritt 6.6

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{\frac{x}{2}} y = 3 (e^{u} + C)$

Schritt 6.7

Vereinfache.

$e^{\frac{x}{2}} y = 3 e^{u} + C$

Schritt 6.8

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$e^{\frac{x}{2}} y = 3 e^{\frac{x}{2}} + C$

Schritt 6.9

Stelle die Terme um.

$e^{\frac{x}{2}} y = 3 e^{\frac{1}{2} x} + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $e^{\frac{x}{2}} y = 3 e^{\frac{1}{2} x} + C$ durch $e^{\frac{x}{2}}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{\frac{x}{2}} y = 3 e^{\frac{1}{2} x} + C$ durch $e^{\frac{x}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} y}{e^{\frac{x}{2}}} = \frac{3 e^{\frac{1}{2} x}}{e^{\frac{x}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{\frac{x}{2}}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{\frac{x}{2}} y}{e^{\frac{x}{2}}} = \frac{3 e^{\frac{1}{2} x}}{e^{\frac{x}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{3 e^{\frac{1}{2} x}}{e^{\frac{x}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{\frac{1}{2} x}$ und $e^{\frac{x}{2}}$ .

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Schritt 7.3.1.1.1

Faktorisiere $e^{\frac{x}{2}}$ aus $3 e^{\frac{1}{2} x}$ heraus.

$y = \frac{e^{\frac{x}{2}} (3 e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - x}{2}})}{e^{\frac{x}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

Schritt 7.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.1.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{x}{2}} (3 e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - x}{2}})}{e^{\frac{x}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

Schritt 7.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{e^{\frac{x}{2}} (3 e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - x}{2}})}{e^{\frac{x}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

Schritt 7.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{3 e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - x}{2}}}{1} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

Schritt 7.3.1.1.2.4

Dividiere $3 e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - x}{2}}$ durch $1$ .

$y = 3 e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - x}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

Schritt 7.3.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $\frac{1}{2} x \cdot 2 - x$ heraus.

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Schritt 7.3.1.2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $\frac{1}{2} x \cdot 2$ heraus.

$y = 3 e^{\frac{x (\frac{1}{2} \cdot 2) - x}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

Schritt 7.3.1.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$y = 3 e^{\frac{x (\frac{1}{2} \cdot 2) + x \cdot - 1}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

Schritt 7.3.1.2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (\frac{1}{2} \cdot 2) + x \cdot - 1$ heraus.

$y = 3 e^{\frac{x (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

Schritt 7.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 3 e^{\frac{x (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

Schritt 7.3.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 3 e^{\frac{x (1 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

Schritt 7.3.1.2.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$y = 3 e^{\frac{x \cdot 0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

Schritt 7.3.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $0$ .

$y = 3 e^{\frac{0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

Schritt 7.3.1.4

Dividiere $0$ durch $2$ .

$y = 3 e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

Schritt 7.3.1.5

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$y = 3 \cdot 1 + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

Schritt 7.3.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$y = 3 + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$