Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 7 x + 9$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $\frac{y}{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = 7 x + 9$

Schritt 1.2

Faktorisiere $y$ aus $- \frac{y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{x}) = 7 x + 9$

Schritt 1.3

Stelle $y$ und $- \frac{1}{x}$ um.

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = 7 x + 9$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - \frac{1}{x}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $- \frac{1}{x}$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- \ln (x)}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Schritt 2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{- 1}$

Schritt 2.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (7 x) + \frac{1}{x} \cdot 9$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (7 x) + \frac{1}{x} \cdot 9$

Schritt 3.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (7 x) + \frac{1}{x} \cdot 9$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} (7 x) + \frac{1}{x} \cdot 9$

Schritt 3.2.4

Multipliziere $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

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Schritt 3.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{y}{x}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (7 x) + \frac{1}{x} \cdot 9$

Schritt 3.2.4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (7 x) + \frac{1}{x} \cdot 9$

Schritt 3.2.4.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (7 x) + \frac{1}{x} \cdot 9$

Schritt 3.2.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (7 x) + \frac{1}{x} \cdot 9$

Schritt 3.2.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (7 x) + \frac{1}{x} \cdot 9$

Schritt 3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 7 \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot 9$

Schritt 3.3.2

Kombiniere $7$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{7}{x} x + \frac{1}{x} \cdot 9$

Schritt 3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{7}{x} x + \frac{1}{x} \cdot 9$

Schritt 3.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 7 + \frac{1}{x} \cdot 9$

Schritt 3.3.4

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $9$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 7 + \frac{9}{x}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = 7 + \frac{9}{x}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int 7 + \frac{9}{x} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$\frac{1}{x} y = \int 7 + \frac{9}{x} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{x} y = \int 7 d x + \int \frac{9}{x} d x$

Schritt 7.2

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{x} y = 7 x + C + \int \frac{9}{x} d x$

Schritt 7.3

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$\frac{1}{x} y = 7 x + C + 9 \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 7.4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{x} y = 7 x + C + 9 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 7.5

Vereinfache.

$\frac{1}{x} y = 7 x + 9 \ln (| x |) + C$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $y$ .

$\frac{y}{x} = 7 x + 9 \ln (| x |) + C$

Schritt 8.2

Vereinfache $9 \ln (| x |)$ , indem du $9$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{y}{x} = 7 x + \ln ({| x |}^{9}) + C$

Schritt 8.3

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{y}{x} x = (7 x + \ln ({| x |}^{9}) + C) x$

Schritt 8.4

Vereinfache.

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Schritt 8.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x} x = (7 x + \ln ({| x |}^{9}) + C) x$

Schritt 8.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = (7 x + \ln ({| x |}^{9}) + C) x$

Schritt 8.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.4.2.1

Vereinfache $(7 x + \ln ({| x |}^{9}) + C) x$ .

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Schritt 8.4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 7 x \cdot x + \ln ({| x |}^{9}) x + C x$

Schritt 8.4.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.4.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$y = 7 (x \cdot x) + \ln ({| x |}^{9}) x + C x$

Schritt 8.4.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = 7 x^{2} + \ln ({| x |}^{9}) x + C x$

Schritt 8.4.2.1.3

Stelle die Faktoren in $7 x^{2} + \ln ({| x |}^{9}) x + C x$ um.

$y = 7 x^{2} + x \ln ({| x |}^{9}) + C x$

Schritt 8.4.2.1.4

Bewege $x \ln ({| x |}^{9})$ .

$y = 7 x^{2} + C x + x \ln ({| x |}^{9})$