Analysis Beispiele

$y' \tan (x) = 2 y - 8$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung um.

$\frac{d y}{d x} \tan (x) = 2 y - 8$

Schritt 2

Separiere die Variablen.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d y}{d x} \tan (x) = 2 y - 8$ durch $\tan (x)$ und vereinfache.

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Schritt 2.1.1

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d y}{d x} \tan (x) = 2 y - 8$ durch $\tan (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} \tan (x)}{\tan (x)} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{\tan (x)}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\tan (x)$ .

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Schritt 2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x} \tan (x)}{\tan (x)} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{\tan (x)}$

Schritt 2.1.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{\tan (x)}$

Schritt 2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.1.1

Separiere Brüche.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{1}{\tan (x)}$

Schritt 2.1.3.1.2

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 2.1.3.1.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ zu dividieren.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 2.1.3.1.4

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{1} \cot (x)$

Schritt 2.1.3.1.5

Dividiere $- 8$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} - 8 \cot (x)$

Schritt 2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $\frac{2 y}{\tan (x)} - 8 \cot (x)$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $\frac{2 y}{\tan (x)}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = 2 \frac{y}{\tan (x)} - 8 \cot (x)$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 8 \cot (x)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = 2 \frac{y}{\tan (x)} + 2 (- 4 \cot (x))$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \frac{y}{\tan (x)} + 2 (- 4 \cot (x))$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = 2 (\frac{y}{\tan (x)} - 4 \cot (x))$

Schritt 2.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1

Separiere Brüche.

$\frac{d y}{d x} = 2 (\frac{y}{1} \cdot \frac{1}{\tan (x)} - 4 \cot (x))$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{d y}{d x} = 2 (\frac{y}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} - 4 \cot (x))$

Schritt 2.2.2.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ zu dividieren.

$\frac{d y}{d x} = 2 (\frac{y}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 4 \cot (x))$

Schritt 2.2.2.4

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$\frac{d y}{d x} = 2 (\frac{y}{1} \cot (x) - 4 \cot (x))$

Schritt 2.2.2.5

Dividiere $y$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (y \cot (x) - 4 \cot (x))$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.3.1

Faktorisiere $\cot (x)$ aus $y \cot (x) - 4 \cot (x)$ heraus.

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Schritt 2.2.3.1.1

Faktorisiere $\cot (x)$ aus $y \cot (x)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = 2 (\cot (x) y - 4 \cot (x))$

Schritt 2.2.3.1.2

Faktorisiere $\cot (x)$ aus $- 4 \cot (x)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = 2 (\cot (x) y + \cot (x) \cdot - 4)$

Schritt 2.2.3.1.3

Faktorisiere $\cot (x)$ aus $\cot (x) y + \cot (x) \cdot - 4$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = 2 (\cot (x) (y - 4))$

Schritt 2.2.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{d y}{d x} = 2 \cot (x) (y - 4)$

Schritt 2.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y - 4}$ .

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 4} (2 \cot (x) (y - 4))$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y - 4} (\cot (x) (y - 4))$

Schritt 2.4.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{y - 4}$ .

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 4} (\cot (x) (y - 4))$

Schritt 2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 4$ .

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Schritt 2.4.3.1

Faktorisiere $y - 4$ aus $\cot (x) (y - 4)$ heraus.

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 4} ((y - 4) \cot (x))$

Schritt 2.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 4} ((y - 4) \cot (x))$

Schritt 2.4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = 2 \cot (x)$

Schritt 2.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y - 4} d y = 2 \cot (x) d x$

Schritt 3

Integriere beide Seiten.

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Schritt 3.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y - 4} d y = \int 2 \cot (x) d x$

Schritt 3.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Sei $u = y - 4$ . Dann ist $d u = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.2.1.1

Es sei $u = y - 4$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Differenziere $y - 4$ .

$\frac{d}{d y} [y - 4]$

Schritt 3.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - 4$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

Schritt 3.2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 4]$

Schritt 3.2.1.1.4

Da $- 4$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 3.2.1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 3.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} d u = \int 2 \cot (x) d x$

Schritt 3.2.2

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 2 \cot (x) d x$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y - 4$ .

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = \int 2 \cot (x) d x$

Schritt 3.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = 2 \int \cot (x) d x$

Schritt 3.3.2

Das Integral von $\cot (x)$ nach $x$ ist $\ln (| \sin (x) |)$ .

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = 2 (\ln (| \sin (x) |) + C_{2})$

Schritt 3.3.3

Vereinfache.

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = 2 \ln (| \sin (x) |) + C_{2}$

Schritt 3.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y - 4 |) = 2 \ln (| \sin (x) |) + C$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y - 4 |) - 2 \ln (| \sin (x) |) = C$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $\ln (| y - 4 |) - 2 \ln (| \sin (x) |)$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Vereinfache $- 2 \ln (| \sin (x) |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (| y - 4 |) - \ln ({| \sin (x) |}^{2}) = C$

Schritt 4.2.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| \sin (x) |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\ln (| y - 4 |) - \ln (\sin^{2} (x)) = C$

Schritt 4.2.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y - 4 |}{\sin^{2} (x)}) = C$

Schritt 4.2.1.3

Multipliziere mit $1$ .

$\ln (\frac{| y - 4 |}{\sin^{2} (x) \cdot 1}) = C$

Schritt 4.2.1.4

Separiere Brüche.

$\ln (\frac{| y - 4 |}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)}) = C$

Schritt 4.2.1.5

Wandle von $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ nach $\csc^{2} (x)$ um.

$\ln (\frac{| y - 4 |}{1} \csc^{2} (x)) = C$

Schritt 4.2.1.6

Dividiere $| y - 4 |$ durch $1$ .

$\ln (| y - 4 | \csc^{2} (x)) = C$

Schritt 4.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y - 4 | \csc^{2} (x))} = e^{C}$

Schritt 4.4

Schreibe $\ln (| y - 4 | \csc^{2} (x)) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y - 4 | \csc^{2} (x)$

Schritt 4.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.5.1

Schreibe die Gleichung als $| y - 4 | \csc^{2} (x) = e^{C}$ um.

$| y - 4 | \csc^{2} (x) = e^{C}$

Schritt 4.5.2

Teile jeden Ausdruck in $| y - 4 | \csc^{2} (x) = e^{C}$ durch $\csc^{2} (x)$ und vereinfache.

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Schritt 4.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $| y - 4 | \csc^{2} (x) = e^{C}$ durch $\csc^{2} (x)$ .

$\frac{| y - 4 | \csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x)} = \frac{e^{C}}{\csc^{2} (x)}$

Schritt 4.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\csc^{2} (x)$ .

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Schritt 4.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| y - 4 | \csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x)} = \frac{e^{C}}{\csc^{2} (x)}$

Schritt 4.5.2.2.1.2

Dividiere $| y - 4 |$ durch $1$ .

$| y - 4 | = \frac{e^{C}}{\csc^{2} (x)}$

Schritt 4.5.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y - 4 = \pm \frac{e^{C}}{\csc^{2} (x)}$

Schritt 4.5.4

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \pm \frac{e^{C}}{\csc^{2} (x)} + 4$

Schritt 5

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 5.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm \frac{C}{\csc^{2} (x)} + 4$

Schritt 5.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C \frac{1}{\csc^{2} (x)} + 4$