Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d t} + y = t$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (t) d t}$ , wobei $P (t) = 1$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int d t}$

Schritt 1.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{t + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{t}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{t}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{t}$ .

$e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{t} t$

Schritt 2.2

Stelle die Faktoren in $e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{t} t$ um.

$e^{t} \frac{d y}{d t} + y e^{t} = t e^{t}$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d t} [e^{t} y] = t e^{t}$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d t} [e^{t} y] d t = \int t e^{t} d t$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{t} y = \int t e^{t} d t$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = t$ und $d v = e^{t}$ .

$e^{t} y = t e^{t} - \int e^{t} d t$

Schritt 6.2

Das Integral von $e^{t}$ nach $t$ ist $e^{t}$ .

$e^{t} y = t e^{t} - (e^{t} + C)$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$e^{t} y = t e^{t} - e^{t} + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $e^{t} y = t e^{t} - e^{t} + C$ durch $e^{t}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{t} y = t e^{t} - e^{t} + C$ durch $e^{t}$ .

$\frac{e^{t} y}{e^{t}} = \frac{t e^{t}}{e^{t}} + \frac{- e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{t}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{t} y}{e^{t}} = \frac{t e^{t}}{e^{t}} + \frac{- e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{t e^{t}}{e^{t}} + \frac{- e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{t}$ .

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Schritt 7.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{t e^{t}}{e^{t}} + \frac{- e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Schritt 7.3.1.1.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$y = t + \frac{- e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Schritt 7.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{t}$ .

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Schritt 7.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = t + \frac{- e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Schritt 7.3.1.2.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$y = t - 1 + \frac{C}{e^{t}}$