Analysis Beispiele

$x + 3 y^{2} \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = 0$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y^{2} \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - x$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $3 y^{2} \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - x$ durch $3 y^{2} \sqrt{x^{2} + 1}$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y^{2} \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - x$ durch $3 y^{2} \sqrt{x^{2} + 1}$ .

$\frac{3 y^{2} \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{3 y^{2} \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- x}{3 y^{2} \sqrt{x^{2} + 1}}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y^{2} \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{3 y^{2} \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- x}{3 y^{2} \sqrt{x^{2} + 1}}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2} \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{y^{2} \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- x}{3 y^{2} \sqrt{x^{2} + 1}}$

Schritt 1.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{y^{2} \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- x}{3 y^{2} \sqrt{x^{2} + 1}}$

Schritt 1.1.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- x}{3 y^{2} \sqrt{x^{2} + 1}}$

Schritt 1.1.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{x^{2} + 1}$ .

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Schritt 1.1.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- x}{3 y^{2} \sqrt{x^{2} + 1}}$

Schritt 1.1.2.2.3.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x}{3 y^{2} \sqrt{x^{2} + 1}}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{3 y^{2} \sqrt{x^{2} + 1}}$

Schritt 1.1.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{x}{3 y^{2} \sqrt{x^{2} + 1}}$ mit $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x}{3 y^{2} \sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}})$

Schritt 1.1.2.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.2.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{x}{3 y^{2} \sqrt{x^{2} + 1}}$ mit $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{3 y^{2} \sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 1}}$

Schritt 1.1.2.3.3.2

Bewege $\sqrt{x^{2} + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{3 y^{2} (\sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 1})}$

Schritt 1.1.2.3.3.3

Potenziere $\sqrt{x^{2} + 1}$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{3 y^{2} ({\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} \sqrt{x^{2} + 1})}$

Schritt 1.1.2.3.3.4

Potenziere $\sqrt{x^{2} + 1}$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{3 y^{2} ({\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 1}}^{1})}$

Schritt 1.1.2.3.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{3 y^{2} {\sqrt{x^{2} + 1}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.1.2.3.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{3 y^{2} {\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3.3.7

Schreibe ${\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}$ als $x^{2} + 1$ um.

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Schritt 1.1.2.3.3.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 1}$ als ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{3 y^{2} {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3.3.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{3 y^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.1.2.3.3.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{3 y^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.1.2.3.3.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.2.3.3.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{3 y^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.1.2.3.3.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{3 y^{2} {(x^{2} + 1)}^{1}}$

Schritt 1.1.2.3.3.7.5

Vereinfache.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{3 y^{2} (x^{2} + 1)}$

Schritt 1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{3 (x^{2} + 1)} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (- \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{3 (x^{2} + 1)} \cdot \frac{1}{y^{2}})$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = - y^{2} (\frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{3 (x^{2} + 1)} \cdot \frac{1}{y^{2}})$

Schritt 1.4.2

Kombinieren.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = - y^{2} \frac{x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{3 (x^{2} + 1) y^{2}}$

Schritt 1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 1.4.3.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $- y^{2}$ heraus.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \cdot - 1 \frac{x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{3 (x^{2} + 1) y^{2}}$

Schritt 1.4.3.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $3 (x^{2} + 1) y^{2}$ heraus.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \cdot - 1 \frac{x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{y^{2} (3 (x^{2} + 1))}$

Schritt 1.4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \cdot - 1 \frac{x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{y^{2} (3 (x^{2} + 1))}$

Schritt 1.4.3.4

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{3 (x^{2} + 1)}$

Schritt 1.4.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{3 (x^{2} + 1)}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$y^{2} d y = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{3 (x^{2} + 1)} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y^{2} d y = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{3 (x^{2} + 1)} d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{3 (x^{2} + 1)} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{3 (x^{2} + 1)} d x$

Schritt 2.3.2

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - (\frac{1}{3} \int \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1} d x)$

Schritt 2.3.3

Sei $u = x^{2} + 1$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.3.1

Es sei $u = x^{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.3.1.1

Differenziere $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2.3.3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.3.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 2.3.3.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 2.3.3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{3} \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

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Schritt 2.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{u}}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{3} \int \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 2} d u$

Schritt 2.3.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{3} \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

Schritt 2.3.5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u)$

Schritt 2.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.6.1

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{2 \cdot 3} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u$

Schritt 2.3.6.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{6} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u$

Schritt 2.3.6.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{6} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

Schritt 2.3.6.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.3.1

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{6} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Schritt 2.3.6.3.2

Multipliziere $u$ mit $u^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.6.3.2.1

Mutltipliziere $u$ mit $u^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.3.6.3.2.1.1

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{6} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Schritt 2.3.6.3.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{6} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

Schritt 2.3.6.3.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{6} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

Schritt 2.3.6.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{6} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

Schritt 2.3.6.3.2.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{6} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 2.3.6.4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.6.4.1

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{6} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 2.3.6.4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.6.4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{6} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 2.3.6.4.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{6} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 2.3.6.4.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{6} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 2.3.7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{6} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Schritt 2.3.8

Vereinfache.

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Schritt 2.3.8.1

Schreibe $- \frac{1}{6} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ als $- \frac{1}{6} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ um.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{6} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.8.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.8.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - 2 (\frac{1}{6}) u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.8.2.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{- 2}{6} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.8.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $6$ .

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Schritt 2.3.8.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2 (- 1)}{6} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.8.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.8.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.8.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.8.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{- 1}{3} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.8.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{3} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.9

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + K$