Analysis Beispiele

$x \frac{d y}{d x} = y \ln (\frac{y}{x})$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als eine Funktion von $\frac{y}{x}$ um.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} = y \ln (\frac{y}{x})$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} = y \ln (\frac{y}{x})$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y \ln (\frac{y}{x})}{x}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y \ln (\frac{y}{x})}{x}$

Schritt 1.1.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \ln (\frac{y}{x})}{x}$

Schritt 1.2

Klammere $\frac{y}{x}$ von $\frac{y \ln (\frac{y}{x})}{x}$ aus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $\frac{y}{x}$ aus $\frac{y \ln (\frac{y}{x})}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \ln (\frac{y}{x})$

Schritt 1.2.2

Stelle $\frac{y}{x}$ und $\ln (\frac{y}{x})$ um.

$\frac{d y}{d x} = \ln (\frac{y}{x}) \frac{y}{x}$

Schritt 2

Es gilt $V = \frac{y}{x}$ . Ersetze $V$ für $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \ln (V) V$

Schritt 3

Löse $V = \frac{y}{x}$ nach $y$ auf.

$y = V x$

Schritt 4

Verwende die Produktregel um die Ableitung von $y = V x$ nach $x$ zu finden.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Schritt 5

Ersetze $\frac{d y}{d x}$ durch $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \ln (V) V$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 6.1.1

Löse nach $\frac{d V}{d x}$ auf.

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Schritt 6.1.1.1

Stelle die Faktoren in $\ln (V) V$ um.

$x \frac{d V}{d x} + V = V \ln (V)$

Schritt 6.1.1.2

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) - V$

Schritt 6.1.1.3

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) - V$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) - V$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V \ln (V)}{x} + \frac{- V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.1.1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V \ln (V)}{x} + \frac{- V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2.1.2

Dividiere $\frac{d V}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \ln (V)}{x} + \frac{- V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.1.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \ln (V)}{x} - \frac{V}{x}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 6.1.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \ln (V) - V}{x}$

Schritt 6.1.2.2

Faktorisiere $V$ aus $V \ln (V) - V$ heraus.

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Schritt 6.1.2.2.1

Faktorisiere $V$ aus $V \ln (V)$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\ln (V)) - V}{x}$

Schritt 6.1.2.2.2

Faktorisiere $V$ aus $- V$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\ln (V)) + V \cdot - 1}{x}$

Schritt 6.1.2.2.3

Faktorisiere $V$ aus $V (\ln (V)) + V \cdot - 1$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\ln (V) - 1)}{x}$

Schritt 6.1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{V (\ln (V) - 1)}$ .

$\frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \cdot \frac{V (\ln (V) - 1)}{x}$

Schritt 6.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $V (\ln (V) - 1)$ .

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Schritt 6.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \cdot \frac{V (\ln (V) - 1)}{x}$

Schritt 6.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{V (\ln (V) - 1)} d V = \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 6.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{V (\ln (V) - 1)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Sei $u_{1} = \ln (V)$ . Dann ist $d u_{1} = \frac{1}{V} d V$ , folglich $V d u_{1} = d V$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Es sei $u_{1} = \ln (V)$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d V}$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.1

Differenziere $\ln (V)$ .

$\frac{d}{d V} [\ln (V)]$

Schritt 6.2.2.1.1.2

Die Ableitung von $\ln (V)$ nach $V$ ist $\frac{1}{V}$ .

$\frac{1}{V}$

Schritt 6.2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{1}{u_{1} - 1} d u_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.2

Sei $u_{2} = u_{1} - 1$ . Dann ist $d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 6.2.2.2.1

Es sei $u_{2} = u_{1} - 1$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Differenziere $u_{1} - 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} - 1]$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $u_{1} - 1$ nach $u_{1}$ $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$

Schritt 6.2.2.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$

Schritt 6.2.2.2.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $u_{1}$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 6.2.2.2.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 6.2.2.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.4

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 6.2.2.4.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $u_{1} - 1$ .

$\ln (| u_{1} - 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.4.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\ln (V)$ .

$\ln (| \ln (V) - 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\ln (| \ln (V) - 1 |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 6.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| \ln (V) - 1 |) = \ln (| x |) + C$

Schritt 6.3

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| \ln (V) - 1 |) - \ln (| x |) = C$

Schritt 6.3.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |}) = C$

Schritt 6.3.3

Um nach $V$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |})} = e^{C}$

Schritt 6.3.4

Schreibe $\ln (\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |}) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |}$

Schritt 6.3.5

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |} = e^{C}$ um.

$\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |} = e^{C}$

Schritt 6.3.5.2

Multipliziere beide Seiten mit $| x |$ .

$\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Schritt 6.3.5.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $| x |$ .

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Schritt 6.3.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Schritt 6.3.5.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| \ln (V) - 1 | = e^{C} | x |$

Schritt 6.3.5.4

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.5.4.1

Stelle die Faktoren in $e^{C} | x |$ um.

$| \ln (V) - 1 | = | x | e^{C}$

Schritt 6.3.5.4.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$\ln (V) - 1 = \pm | x | e^{C}$

Schritt 6.3.5.4.3

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\ln (V) = \pm | x | e^{C} + 1$

Schritt 6.3.5.4.4

Um nach $V$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (V)} = e^{\pm | x | e^{C} + 1}$

Schritt 6.3.5.4.5

Schreibe $\ln (V) = \pm | x | e^{C} + 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{\pm | x | e^{C} + 1} = V$

Schritt 6.3.5.4.6

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.5.4.6.1

Schreibe die Gleichung als $V = e^{\pm | x | e^{C} + 1}$ um.

$V = e^{\pm | x | e^{C} + 1}$

Schritt 6.3.5.4.6.2

Stelle die Faktoren in $e^{\pm | x | e^{C} + 1}$ um.

$V = e^{\pm e^{C} | x | + 1}$

Schritt 6.4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$V = e^{\pm C | x | + 1}$

Schritt 6.4.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$V = e^{C | x | + 1}$

Schritt 7

Ersetze $V$ durch $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = e^{C | x | + 1}$

Schritt 8

Löse $\frac{y}{x} = e^{C | x | + 1}$ nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{y}{x} x = e^{C | x | + 1} x$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x} x = e^{C | x | + 1} x$

Schritt 8.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = e^{C | x | + 1} x$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Stelle die Faktoren in $e^{C | x | + 1} x$ um.

$y = x e^{C | x | + 1}$