Analysis Beispiele

$(1 + x^{2}) d y + y d x = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $y d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$(1 + x^{2}) d y = - y d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{(1 + x^{2}) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- y) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $1 + x^{2}$ aus $(1 + x^{2}) y$ heraus.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (y)} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- y) d x$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- y) d x$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- y) d x$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{(1 + x^{2}) y} y d x$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{(1 + x^{2}) y}$ in den Zähler.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{(1 + x^{2}) y} y d x$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $y$ aus $(1 + x^{2}) y$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 + x^{2})} y d x$

Schritt 3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 + x^{2})} y d x$

Schritt 3.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.3.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Schritt 4.3.3

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\arctan (x) + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\arctan (x) + C_{2})$

Schritt 4.3.4

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \arctan (x) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = - \arctan (x) + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \arctan (x) + C}$

Schritt 5.2

Schreibe $\ln (| y |) = - \arctan (x) + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- \arctan (x) + C} = | y |$

Schritt 5.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.3.1

Schreibe die Gleichung als $| y | = e^{- \arctan (x) + C}$ um.

$| y | = e^{- \arctan (x) + C}$

Schritt 5.3.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \arctan (x) + C}$

Schritt 6

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 6.1

Schreibe $e^{- \arctan (x) + C}$ als $e^{- \arctan (x)} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{- \arctan (x)} e^{C}$

Schritt 6.2

Stelle $e^{- \arctan (x)}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{- \arctan (x)}$

Schritt 6.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{- \arctan (x)}$