Analysis Beispiele

$y (u^{2} + 1) d u + (u^{3} - 3 u) d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $y (u^{2} + 1) d u$ von beiden Seiten der Gleichung.

$(u^{3} - 3 u) d y = - y (u^{2} + 1) d u$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{(u^{3} - 3 u) y}$ .

$\frac{1}{(u^{3} - 3 u) y} (u^{3} - 3 u) d y = \frac{1}{(u^{3} - 3 u) y} (- y (u^{2} + 1)) d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u^{3} - 3 u$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $u^{3} - 3 u$ aus $(u^{3} - 3 u) y$ heraus.

$\frac{1}{(u^{3} - 3 u) (y)} (u^{3} - 3 u) d y = \frac{1}{(u^{3} - 3 u) y} (- y (u^{2} + 1)) d u$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{(u^{3} - 3 u) y} (u^{3} - 3 u) d y = \frac{1}{(u^{3} - 3 u) y} (- y (u^{2} + 1)) d u$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(u^{3} - 3 u) y} (- y (u^{2} + 1)) d u$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{(u^{3} - 3 u) y} (y (u^{2} + 1)) d u$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{(u^{3} - 3 u) y}$ in den Zähler.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{(u^{3} - 3 u) y} (y (u^{2} + 1)) d u$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $y$ aus $(u^{3} - 3 u) y$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (u^{3} - 3 u)} (y (u^{2} + 1)) d u$

Schritt 3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (u^{3} - 3 u)} (y (u^{2} + 1)) d u$

Schritt 3.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{u^{3} - 3 u} (u^{2} + 1) d u$

Schritt 3.4

Faktorisiere $u$ aus $u^{3} - 3 u$ heraus.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $u$ aus $u^{3}$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{u \cdot u^{2} - 3 u} (u^{2} + 1) d u$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $u$ aus $- 3 u$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{u \cdot u^{2} + u \cdot - 3} (u^{2} + 1) d u$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot u^{2} + u \cdot - 3$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{u (u^{2} - 3)} (u^{2} + 1) d u$

Schritt 3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{u (u^{2} - 3)} (u^{2} + 1) d u$

Schritt 3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{y} d y = (- \frac{1}{u (u^{2} - 3)} u^{2} - \frac{1}{u (u^{2} - 3)} \cdot 1) d u$

Schritt 3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u$ .

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Schritt 3.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{u (u^{2} - 3)}$ in den Zähler.

$\frac{1}{y} d y = (\frac{- 1}{u (u^{2} - 3)} u^{2} - \frac{1}{u (u^{2} - 3)} \cdot 1) d u$

Schritt 3.7.2

Faktorisiere $u$ aus $u^{2}$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = (\frac{- 1}{u (u^{2} - 3)} (u \cdot u) - \frac{1}{u (u^{2} - 3)} \cdot 1) d u$

Schritt 3.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} d y = (\frac{- 1}{u (u^{2} - 3)} (u \cdot u) - \frac{1}{u (u^{2} - 3)} \cdot 1) d u$

Schritt 3.7.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = (\frac{- 1}{u^{2} - 3} u - \frac{1}{u (u^{2} - 3)} \cdot 1) d u$

Schritt 3.8

Kombiniere $\frac{- 1}{u^{2} - 3}$ und $u$ .

$\frac{1}{y} d y = (\frac{- u}{u^{2} - 3} - \frac{1}{u (u^{2} - 3)} \cdot 1) d u$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{y} d y = (\frac{- u}{u^{2} - 3} - \frac{1}{u (u^{2} - 3)}) d u$

Schritt 3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{y} d y = (- \frac{u}{u^{2} - 3} - \frac{1}{u (u^{2} - 3)}) d u$

Schritt 3.11

Um $- \frac{u}{u^{2} - 3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{u}{u}$ .

$\frac{1}{y} d y = (- \frac{u}{u^{2} - 3} \cdot \frac{u}{u} - \frac{1}{u (u^{2} - 3)}) d u$

Schritt 3.12

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(u^{2} - 3) u$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.12.1

Mutltipliziere $\frac{u}{u^{2} - 3}$ mit $\frac{u}{u}$ .

$\frac{1}{y} d y = (- \frac{u \cdot u}{(u^{2} - 3) u} - \frac{1}{u (u^{2} - 3)}) d u$

Schritt 3.12.2

Stelle die Faktoren von $(u^{2} - 3) u$ um.

$\frac{1}{y} d y = (- \frac{u \cdot u}{u (u^{2} - 3)} - \frac{1}{u (u^{2} - 3)}) d u$

Schritt 3.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- u \cdot u - 1}{u (u^{2} - 3)} d u$

Schritt 3.14

Multipliziere $u$ mit $u$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.14.1

Bewege $u$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- (u \cdot u) - 1}{u (u^{2} - 3)} d u$

Schritt 3.14.2

Mutltipliziere $u$ mit $u$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- u^{2} - 1}{u (u^{2} - 3)} d u$

Schritt 3.15

Faktorisiere $- 1$ aus $- u^{2}$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- (u^{2}) - 1}{u (u^{2} - 3)} d u$

Schritt 3.16

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- (u^{2}) - 1 (1)}{u (u^{2} - 3)} d u$

Schritt 3.17

Faktorisiere $- 1$ aus $- (u^{2}) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- (u^{2} + 1)}{u (u^{2} - 3)} d u$

Schritt 3.18

Schreibe $- (u^{2} + 1)$ als $- 1 (u^{2} + 1)$ um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1 (u^{2} + 1)}{u (u^{2} - 3)} d u$

Schritt 3.19

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{u^{2} + 1}{u (u^{2} - 3)} d u$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{u^{2} + 1}{u (u^{2} - 3)} d u$

Schritt 4.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{u^{2} + 1}{u (u^{2} - 3)} d u$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{u^{2} + 1}{u (u^{2} - 3)} d u$

Schritt 4.3.2

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 4.3.2.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 4.3.2.1.1

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor von zweiter Ordnung ist, sind $2$ Terme im Zähler erforderlich. Die Anzahl der erforderlichen Terme im Zähler ist immer gleich der Ordnung des Faktors im Nenner.

$\frac{A}{u} + \frac{B u + C}{u^{2} - 3}$

Schritt 4.3.2.1.2

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $u (u^{2} - 3)$ .

$\frac{(u^{2} + 1) (u (u^{2} - 3))}{u (u^{2} - 3)} = \frac{A (u (u^{2} - 3))}{u} + \frac{(B u + C) (u (u^{2} - 3))}{u^{2} - 3}$

Schritt 4.3.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u$ .

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Schritt 4.3.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(u^{2} + 1) (u (u^{2} - 3))}{u (u^{2} - 3)} = \frac{A (u (u^{2} - 3))}{u} + \frac{(B u + C) (u (u^{2} - 3))}{u^{2} - 3}$

Schritt 4.3.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(u^{2} + 1) (u^{2} - 3)}{u^{2} - 3} = \frac{A (u (u^{2} - 3))}{u} + \frac{(B u + C) (u (u^{2} - 3))}{u^{2} - 3}$

Schritt 4.3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u^{2} - 3$ .

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Schritt 4.3.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(u^{2} + 1) (u^{2} - 3)}{u^{2} - 3} = \frac{A (u (u^{2} - 3))}{u} + \frac{(B u + C) (u (u^{2} - 3))}{u^{2} - 3}$

Schritt 4.3.2.1.4.2

Dividiere $u^{2} + 1$ durch $1$ .

$u^{2} + 1 = \frac{A (u (u^{2} - 3))}{u} + \frac{(B u + C) (u (u^{2} - 3))}{u^{2} - 3}$

Schritt 4.3.2.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u$ .

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Schritt 4.3.2.1.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u^{2} + 1 = \frac{A (u (u^{2} - 3))}{u} + \frac{(B u + C) (u (u^{2} - 3))}{u^{2} - 3}$

Schritt 4.3.2.1.5.1.2

Dividiere $A (u^{2} - 3)$ durch $1$ .

$u^{2} + 1 = A (u^{2} - 3) + \frac{(B u + C) (u (u^{2} - 3))}{u^{2} - 3}$

Schritt 4.3.2.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$u^{2} + 1 = A u^{2} + A \cdot - 3 + \frac{(B u + C) (u (u^{2} - 3))}{u^{2} - 3}$

Schritt 4.3.2.1.5.3

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $A$ .

$u^{2} + 1 = A u^{2} - 3 \cdot A + \frac{(B u + C) (u (u^{2} - 3))}{u^{2} - 3}$

Schritt 4.3.2.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u^{2} - 3$ .

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Schritt 4.3.2.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u^{2} + 1 = A u^{2} - 3 A + \frac{(B u + C) (u (u^{2} - 3))}{u^{2} - 3}$

Schritt 4.3.2.1.5.4.2

Dividiere $(B u + C) (u)$ durch $1$ .

$u^{2} + 1 = A u^{2} - 3 A + (B u + C) (u)$

Schritt 4.3.2.1.5.5

Wende das Distributivgesetz an.

$u^{2} + 1 = A u^{2} - 3 A + B u \cdot u + C u$

Schritt 4.3.2.1.5.6

Multipliziere $u$ mit $u$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.2.1.5.6.1

Bewege $u$ .

$u^{2} + 1 = A u^{2} - 3 A + B (u \cdot u) + C u$

Schritt 4.3.2.1.5.6.2

Mutltipliziere $u$ mit $u$ .

$u^{2} + 1 = A u^{2} - 3 A + B u^{2} + C u$

Schritt 4.3.2.1.6

Bewege $- 3 A$ .

$u^{2} + 1 = A u^{2} + B u^{2} + C u - 3 A$

Schritt 4.3.2.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 4.3.2.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $u^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = A + B$

Schritt 4.3.2.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $u$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = C$

Schritt 4.3.2.2.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $u$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = - 3 A$

Schritt 4.3.2.2.4

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$1 = A + B$

$0 = C$

$1 = - 3 A$

$1 = A + B$

$0 = C$

$1 = - 3 A$

Schritt 4.3.2.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 4.3.2.3.1

Schreibe die Gleichung als $C = 0$ um.

$C = 0$

$1 = A + B$

$1 = - 3 A$

Schritt 4.3.2.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $C$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.3.2.3.2.1

Schreibe die Gleichung als $- 3 A = 1$ um.

$- 3 A = 1$

$C = 0$

$1 = A + B$

Schritt 4.3.2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 A = 1$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 A = 1$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

Schritt 4.3.2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 4.3.2.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

Schritt 4.3.2.3.2.2.2.1.2

Dividiere $A$ durch $1$ .

$A = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

Schritt 4.3.2.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

Schritt 4.3.2.3.3

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $- \frac{1}{3}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.3.2.3.3.1

Ersetze alle $A$ in $1 = A + B$ durch $- \frac{1}{3}$ .

$1 = (- \frac{1}{3}) + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Schritt 4.3.2.3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.3.3.2.1

Entferne die Klammern.

$1 = - \frac{1}{3} + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = - \frac{1}{3} + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = - \frac{1}{3} + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Schritt 4.3.2.3.4

Löse in $1 = - \frac{1}{3} + B$ nach $B$ auf.

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Schritt 4.3.2.3.4.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{1}{3} + B = 1$ um.

$- \frac{1}{3} + B = 1$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Schritt 4.3.2.3.4.2

Bringe alle Terme, die nicht $B$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.2.3.4.2.1

Addiere $\frac{1}{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$B = 1 + \frac{1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Schritt 4.3.2.3.4.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$B = \frac{3}{3} + \frac{1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Schritt 4.3.2.3.4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$B = \frac{3 + 1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Schritt 4.3.2.3.4.2.4

Addiere $3$ und $1$ .

$B = \frac{4}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$B = \frac{4}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$B = \frac{4}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Schritt 4.3.2.3.5

Löse das Gleichungssystem.

$B = \frac{4}{3} A = - \frac{1}{3} C = 0$

Schritt 4.3.2.3.6

Liste alle Lösungen auf.

$B = \frac{4}{3}, A = - \frac{1}{3}, C = 0$

Schritt 4.3.2.4

Ersetze jeden Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{u} + \frac{B u + C}{u^{2} - 3}$ durch die Werte, die für $A$ , $B$ und $C$ ermittelt wurden.

$- \frac{\frac{1}{3}}{u} + \frac{\frac{4}{3 u} + 0}{u^{2} - 3}$

Schritt 4.3.2.5

Vereinfache.

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Schritt 4.3.2.5.1

Entferne die Klammern.

$\frac{- \frac{1}{3}}{u} + \frac{(\frac{4}{3}) u + 0}{u^{2} - 3}$

Schritt 4.3.2.5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.5.2.1

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $u$ .

$\frac{- \frac{1}{3}}{u} + \frac{\frac{4 u}{3} + 0}{u^{2} - 3}$

Schritt 4.3.2.5.2.2

Addiere $\frac{4 u}{3}$ und $0$ .

$\frac{- \frac{1}{3}}{u} + \frac{\frac{4 u}{3}}{u^{2} - 3}$

Schritt 4.3.2.5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{- \frac{1}{3}}{u} + \frac{4 u}{3} \cdot \frac{1}{u^{2} - 3}$

Schritt 4.3.2.5.4

Mutltipliziere $\frac{4 u}{3}$ mit $\frac{1}{u^{2} - 3}$ .

$\frac{- \frac{1}{3}}{u} + \frac{4 u}{3 (u^{2} - 3)}$

Schritt 4.3.2.5.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u} + \frac{4 u}{3 (u^{2} - 3)}$

Schritt 4.3.2.5.6

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{u \cdot 3} + \frac{4 u}{3 (u^{2} - 3)}$

Schritt 4.3.2.5.7

Bringe $3$ auf die linke Seite von $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int - \frac{1}{3 u} + \frac{4 u}{3 (u^{2} - 3)} d u$

Schritt 4.3.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\int - \frac{1}{3 u} d u + \int \frac{4 u}{3 (u^{2} - 3)} d u)$

Schritt 4.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \int \frac{1}{3 u} d u + \int \frac{4 u}{3 (u^{2} - 3)} d u)$

Schritt 4.3.5

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{4 u}{3 (u^{2} - 3)} d u)$

Schritt 4.3.6

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \int \frac{4 u}{3 (u^{2} - 3)} d u)$

Schritt 4.3.7

Da $\frac{4}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{4}{3}$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{4}{3} \int \frac{u}{u^{2} - 3} d u)$

Schritt 4.3.8

Sei $u_{1} = u^{2} - 3$ . Dann ist $d u_{1} = 2 u d u$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = u d u$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 4.3.8.1

Es sei $u_{1} = u^{2} - 3$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

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Schritt 4.3.8.1.1

Differenziere $u^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2} - 3]$

Schritt 4.3.8.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $u^{2} - 3$ nach $u$ $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [- 3]$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [- 3]$

Schritt 4.3.8.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u + \frac{d}{d u} [- 3]$

Schritt 4.3.8.1.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $u$ gleich $0$ .

$2 u + 0$

Schritt 4.3.8.1.5

Addiere $2 u$ und $0$ .

$2 u$

Schritt 4.3.8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{4}{3} \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1})$

Schritt 4.3.9

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{1}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{4}{3} \int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1})$

Schritt 4.3.9.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{1}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{4}{3} \int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1})$

Schritt 4.3.10

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{4}{3} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}))$

Schritt 4.3.11

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.11.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{4}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{4}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 4.3.11.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{4}{6} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 4.3.11.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.11.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{2 (2)}{6} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 4.3.11.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.11.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 4.3.11.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 4.3.11.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 4.3.12

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{2}{3} (\ln (| u_{1} |) + C_{3}))$

Schritt 4.3.13

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} \ln (| u |) + \frac{2}{3} \ln (| u_{1} |)) + C_{4}$

Schritt 4.3.14

Ersetze alle $u_{1}$ durch $u^{2} - 3$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} \ln (| u |) + \frac{2}{3} \ln (| u^{2} - 3 |)) + C_{4}$

Schritt 4.3.15

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.15.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.15.1.1

Kombiniere $\ln (| u |)$ und $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{\ln (| u |)}{3} + \frac{2}{3} \ln (| u^{2} - 3 |)) + C_{4}$

Schritt 4.3.15.1.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $\ln (| u^{2} - 3 |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{\ln (| u |)}{3} + \frac{2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3}) + C_{4}$

Schritt 4.3.15.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{- \ln (| u |) + 2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} + C_{4}$

Schritt 4.3.15.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (| u |)$ heraus.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{- (\ln (| u |)) + 2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} + C_{4}$

Schritt 4.3.15.4

Faktorisiere $- 1$ aus $2 \ln (| u^{2} - 3 |)$ heraus.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{- (\ln (| u |)) - (- 2 \ln (| u^{2} - 3 |))}{3} + C_{4}$

Schritt 4.3.15.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\ln (| u |)) - (- 2 \ln (| u^{2} - 3 |))$ heraus.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{- (\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |))}{3} + C_{4}$

Schritt 4.3.15.6

Schreibe $- (\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |))$ als $- 1 (\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |))$ um.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{- 1 (\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |))}{3} + C_{4}$

Schritt 4.3.15.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (| y |) + C_{1} = - - \frac{\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} + C_{4}$

Schritt 4.3.15.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \frac{\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} + C_{4}$

Schritt 4.3.15.9

Mutltipliziere $\frac{\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3}$ mit $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} + C_{4}$

Schritt 4.3.16

Stelle die Terme um.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} (\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |)) + C_{4}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = \frac{1}{3} (\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |)) + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y |) = \frac{1}{3} \ln (| u |) + \frac{1}{3} (- 2 \ln (| u^{2} - 3 |)) + C$

Schritt 5.1.1.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| u |)}{3} + \frac{1}{3} (- 2 \ln (| u^{2} - 3 |)) + C$

Schritt 5.1.1.3

Multipliziere $\frac{1}{3} (- 2 \ln (| u^{2} - 3 |))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1.3.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| u |)}{3} + \frac{- 2}{3} \ln (| u^{2} - 3 |) + C$

Schritt 5.1.1.3.2

Kombiniere $\frac{- 2}{3}$ und $\ln (| u^{2} - 3 |)$ .

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| u |)}{3} + \frac{- 2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} + C$

Schritt 5.1.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| u |)}{3} - \frac{2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} + C$

Schritt 5.2

Multipliziere jeden Term in $\ln (| y |) = \frac{\ln (| u |)}{3} - \frac{2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} + C$ mit $3$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.2.1

Multipliziere jeden Term in $\ln (| y |) = \frac{\ln (| u |)}{3} - \frac{2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} + C$ mit $3$ .

$\ln (| y |) \cdot 3 = \frac{\ln (| u |)}{3} \cdot 3 - \frac{2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\ln (| y |)$ .

$3 \ln (| y |) = \frac{\ln (| u |)}{3} \cdot 3 - \frac{2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \ln (| y |) = \frac{\ln (| u |)}{3} \cdot 3 - \frac{2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Schritt 5.2.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$3 \ln (| y |) = \ln (| u |) - \frac{2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Schritt 5.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3}$ in den Zähler.

$3 \ln (| y |) = \ln (| u |) + \frac{- 2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \ln (| y |) = \ln (| u |) + \frac{- 2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Schritt 5.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 \ln (| y |) = \ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |) + C \cdot 3$

Schritt 5.2.3.1.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $C$ .

$3 \ln (| y |) = \ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |) + 3 C$

Schritt 5.3

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Vereinfache $3 \ln (| y |)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({| y |}^{3}) = \ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |) + 3 C$

Schritt 5.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache $\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |) + 3 C$ .

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Schritt 5.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1.1.1

Vereinfache $- 2 \ln (| u^{2} - 3 |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({| y |}^{3}) = \ln (| u |) - \ln ({| u^{2} - 3 |}^{2}) + 3 C$

Schritt 5.4.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| u^{2} - 3 |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\ln ({| y |}^{3}) = \ln (| u |) - \ln ({(u^{2} - 3)}^{2}) + 3 C$

Schritt 5.4.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln ({| y |}^{3}) = \ln (\frac{| u |}{{(u^{2} - 3)}^{2}}) + 3 C$

Schritt 5.5

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln ({| y |}^{3}) - \ln (\frac{| u |}{{(u^{2} - 3)}^{2}}) = 3 C$

Schritt 5.6

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{{| y |}^{3}}{\frac{| u |}{{(u^{2} - 3)}^{2}}}) = 3 C$

Schritt 5.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\ln ({| y |}^{3} (\frac{{(u^{2} - 3)}^{2}}{| u |})) = 3 C$

Schritt 5.8

Kombiniere ${| y |}^{3}$ und $\frac{{(u^{2} - 3)}^{2}}{| u |}$ .

$\ln (\frac{{| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2}}{| u |}) = 3 C$

Schritt 5.9

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{{| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2}}{| u |})} = e^{3 C}$

Schritt 5.10

Schreibe $\ln (\frac{{| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2}}{| u |}) = 3 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{3 C} = \frac{{| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2}}{| u |}$

Schritt 5.11

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.11.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{{| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2}}{| u |} = e^{3 C}$ um.

$\frac{{| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2}}{| u |} = e^{3 C}$

Schritt 5.11.2

Multipliziere beide Seiten mit $| u |$ .

$\frac{{| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2}}{| u |} | u | = e^{3 C} | u |$

Schritt 5.11.3

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.11.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $| u |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.11.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2}}{| u |} | u | = e^{3 C} | u |$

Schritt 5.11.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

${| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2} = e^{3 C} | u |$

Schritt 5.11.4

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.11.4.1

Teile jeden Ausdruck in ${| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2} = e^{3 C} | u |$ durch ${(u^{2} - 3)}^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 5.11.4.1.1

Teile jeden Ausdruck in ${| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2} = e^{3 C} | u |$ durch ${(u^{2} - 3)}^{2}$ .

$\frac{{| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2}}{{(u^{2} - 3)}^{2}} = \frac{e^{3 C} | u |}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 5.11.4.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.11.4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(u^{2} - 3)}^{2}$ .

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Schritt 5.11.4.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2}}{{(u^{2} - 3)}^{2}} = \frac{e^{3 C} | u |}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 5.11.4.1.2.1.2

Dividiere ${| y |}^{3}$ durch $1$ .

${| y |}^{3} = \frac{e^{3 C} | u |}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 5.11.4.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$| y | = \sqrt[3]{\frac{e^{3 C} | u |}{{(u^{2} - 3)}^{2}}}$

Schritt 5.11.4.3

Vereinfache $\sqrt[3]{\frac{e^{3 C} | u |}{{(u^{2} - 3)}^{2}}}$ .

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Schritt 5.11.4.3.1

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{e^{3 C} | u |}{{(u^{2} - 3)}^{2}}}$ als $\frac{\sqrt[3]{e^{3 C} | u |}}{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}$ um.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{3 C} | u |}}{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}$

Schritt 5.11.4.3.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.11.4.3.2.1

Schreibe $e^{3 C}$ als ${(e^{C})}^{3}$ um.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{{(e^{C})}^{3} | u |}}{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}$

Schritt 5.11.4.3.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |}}{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}$

Schritt 5.11.4.3.3

Mutltipliziere $\frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |}}{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |}}{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}$

Schritt 5.11.4.3.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.11.4.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |}}{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}$

Schritt 5.11.4.3.4.2

Potenziere $\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}$ mit $1$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}$

Schritt 5.11.4.3.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{1 + 2}}$

Schritt 5.11.4.3.4.4

Addiere $1$ und $2$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{3}}$

Schritt 5.11.4.3.4.5

Schreibe ${\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{3}$ als ${(u^{2} - 3)}^{2}$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.11.4.3.4.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}$ als ${(u^{2} - 3)}^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{({(u^{2} - 3)}^{\frac{2}{3}})}^{3}}$

Schritt 5.11.4.3.4.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{(u^{2} - 3)}^{\frac{2}{3} \cdot 3}}$

Schritt 5.11.4.3.4.5.3

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $3$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{(u^{2} - 3)}^{\frac{2 \cdot 3}{3}}}$

Schritt 5.11.4.3.4.5.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{(u^{2} - 3)}^{\frac{6}{3}}}$

Schritt 5.11.4.3.4.5.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 5.11.4.3.4.5.5.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{(u^{2} - 3)}^{\frac{3 \cdot 2}{3}}}$

Schritt 5.11.4.3.4.5.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.11.4.3.4.5.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{(u^{2} - 3)}^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}}$

Schritt 5.11.4.3.4.5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{(u^{2} - 3)}^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}}$

Schritt 5.11.4.3.4.5.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{(u^{2} - 3)}^{\frac{2}{1}}}$

Schritt 5.11.4.3.4.5.5.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 5.11.4.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.11.4.3.5.1

Schreibe ${\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}$ als $\sqrt[3]{{({(u^{2} - 3)}^{2})}^{2}}$ um.

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{{({(u^{2} - 3)}^{2})}^{2}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 5.11.4.3.5.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(u^{2} - 3)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 5.11.4.3.5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2 \cdot 2}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 5.11.4.3.5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 5.11.4.3.5.3

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{{(u^{2})}^{4} + 4 {(u^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(u^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 u^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 5.11.4.3.5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.11.4.3.5.4.1

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{2})}^{4}$ .

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Schritt 5.11.4.3.5.4.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{2 \cdot 4} + 4 {(u^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(u^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 u^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 5.11.4.3.5.4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} + 4 {(u^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(u^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 u^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 5.11.4.3.5.4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{2})}^{3}$ .

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Schritt 5.11.4.3.5.4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} + 4 u^{2 \cdot 3} \cdot - 3 + 6 {(u^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 u^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 5.11.4.3.5.4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} + 4 u^{6} \cdot - 3 + 6 {(u^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 u^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 5.11.4.3.5.4.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} - 12 u^{6} + 6 {(u^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 u^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 5.11.4.3.5.4.4

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{2})}^{2}$ .

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Schritt 5.11.4.3.5.4.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} - 12 u^{6} + 6 u^{2 \cdot 2} {(- 3)}^{2} + 4 u^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 5.11.4.3.5.4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} - 12 u^{6} + 6 u^{4} {(- 3)}^{2} + 4 u^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 5.11.4.3.5.4.5

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} - 12 u^{6} + 6 u^{4} \cdot 9 + 4 u^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 5.11.4.3.5.4.6

Mutltipliziere $9$ mit $6$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} - 12 u^{6} + 54 u^{4} + 4 u^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 5.11.4.3.5.4.7

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} - 12 u^{6} + 54 u^{4} + 4 u^{2} \cdot - 27 + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 5.11.4.3.5.4.8

Mutltipliziere $- 27$ mit $4$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} - 12 u^{6} + 54 u^{4} - 108 u^{2} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 5.11.4.3.5.4.9

Potenziere $- 3$ mit $4$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} - 12 u^{6} + 54 u^{4} - 108 u^{2} + 81}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 5.11.4.3.5.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{(u^{8} - 12 u^{6} + 54 u^{4} - 108 u^{2} + 81) | u |}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 5.11.4.3.6

Stelle die Faktoren in $\frac{e^{C} \sqrt[3]{(u^{8} - 12 u^{6} + 54 u^{4} - 108 u^{2} + 81) | u |}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$ um.

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u | (u^{8} - 12 u^{6} + 54 u^{4} - 108 u^{2} + 81)}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 5.11.4.4

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u | (u^{8} - 12 u^{6} + 54 u^{4} - 108 u^{2} + 81)}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 6

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm \frac{C \sqrt[3]{| u | (u^{8} - 12 u^{6} + 54 u^{4} - 108 u^{2} + 81)}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$