Analysis Beispiele

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + 3 x y = 0$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 1 \frac{d y}{d x} + 3 x y = 0$

Schritt 1.1.1.2

Mutltipliziere $\frac{d y}{d x}$ mit $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 3 x y = 0$

Schritt 1.1.2

Subtrahiere $3 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} = - 3 x y$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $\frac{d y}{d x}$ aus $x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x}$ heraus.

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Schritt 1.1.3.1

Faktorisiere $\frac{d y}{d x}$ aus $x^{2} \frac{d y}{d x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = - 3 x y$

Schritt 1.1.3.2

Potenziere $\frac{d y}{d x}$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = - 3 x y$

Schritt 1.1.3.3

Faktorisiere $\frac{d y}{d x}$ aus ${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1 = - 3 x y$

Schritt 1.1.3.4

Faktorisiere $\frac{d y}{d x}$ aus $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1$ heraus.

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - 3 x y$

Schritt 1.1.4

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - 3 x y$ durch $x^{2} + 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - 3 x y$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{- 3 x y}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 1$ .

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Schritt 1.1.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{- 3 x y}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.4.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 3 x y}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x y}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x}{x^{2} + 1} y$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{3 x}{x^{2} + 1} y)$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} (\frac{3 x}{x^{2} + 1} y)$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.4.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{y}$ in den Zähler.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (\frac{3 x}{x^{2} + 1} y)$

Schritt 1.4.2.2

Faktorisiere $y$ aus $\frac{3 x}{x^{2} + 1} y$ heraus.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{3 x}{x^{2} + 1})$

Schritt 1.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{3 x}{x^{2} + 1})$

Schritt 1.4.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{3 x}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.3.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (3 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.3.4

Sei $u = x^{2} + 1$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.4.1

Es sei $u = x^{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.4.1.1

Differenziere $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2.3.4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.4.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 2.3.4.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 2.3.4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Schritt 2.3.5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 2.3.6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 3$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 3}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.8

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{3}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Schritt 2.3.9

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Schritt 2.3.10

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = - \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.1

Kombiniere $\ln (| x^{2} + 1 |)$ und $\frac{3}{2}$ .

$\ln (| y |) = - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |) \cdot 3}{2} + C$

Schritt 3.1.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\ln (| x^{2} + 1 |)$ .

$\ln (| y |) = - \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y |) + \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Schritt 3.3

Um $\ln (| y |)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Schritt 3.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.4.1

Kombiniere $\ln (| y |)$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2}{2} + \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Schritt 3.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2 + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Schritt 3.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\ln (| y |)$ .

$\frac{2 \ln (| y |) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Schritt 3.6

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache $\frac{2 \ln (| y |) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2}$ .

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Schritt 3.6.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1.1.1

Vereinfache $2 \ln (| y |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{\ln ({| y |}^{2}) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Schritt 3.6.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| y |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\frac{\ln (y^{2}) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Schritt 3.6.1.1.3

Vereinfache $3 \ln (| x^{2} + 1 |)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{\ln (y^{2}) + \ln ({| x^{2} + 1 |}^{3})}{2} = C$

Schritt 3.6.1.1.4

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln (y^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})}{2} = C$

Schritt 3.6.1.2

Schreibe $\frac{\ln (y^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})}{2}$ als $\frac{1}{2} \ln (y^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})$ um.

$\frac{1}{2} \ln (y^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3}) = C$

Schritt 3.6.1.3

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (y^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({(y^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Schritt 3.6.1.4

Wende die Produktregel auf $y^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3}$ an.

$\ln ({(y^{2})}^{\frac{1}{2}} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Schritt 3.6.1.5

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.6.1.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Schritt 3.6.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.6.1.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Schritt 3.6.1.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (y^{1} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Schritt 3.6.1.6

Vereinfache.

$\ln (y {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Schritt 3.6.1.7

Multipliziere die Exponenten in ${({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.6.1.7.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{3 (\frac{1}{2})}) = C$

Schritt 3.6.1.7.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2}$ .

$\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$

Schritt 3.7

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})} = e^{C}$

Schritt 3.8

Schreibe $\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.9

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.9.1

Schreibe die Gleichung als $y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C}$ um.

$y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C}$

Schritt 3.9.2

Teile jeden Ausdruck in $y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C}$ durch ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ und vereinfache.

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Schritt 3.9.2.1

Teile jeden Ausdruck in $y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C}$ durch ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3.9.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.9.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3.9.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{C}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$