Analysis Beispiele

$\frac{d x}{d y} + x = 2 y$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (y) d y}$ , wobei $P (y) = 1$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int d y}$

Schritt 1.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{y + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{y}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{y}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d x}{d y} + e^{y} x = e^{y} (2 y)$

Schritt 2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{y} \frac{d x}{d y} + e^{y} x = 2 e^{y} y$

Schritt 2.3

Stelle die Faktoren in $e^{y} \frac{d x}{d y} + e^{y} x = 2 e^{y} y$ um.

$e^{y} \frac{d x}{d y} + x e^{y} = 2 y e^{y}$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d y} [e^{y} x] = 2 y e^{y}$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d y} [e^{y} x] d y = \int 2 y e^{y} d y$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{y} x = \int 2 y e^{y} d y$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{y} x = 2 \int y e^{y} d y$

Schritt 6.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = y$ und $d v = e^{y}$ .

$e^{y} x = 2 (y e^{y} - \int e^{y} d y)$

Schritt 6.3

Das Integral von $e^{y}$ nach $y$ ist $e^{y}$ .

$e^{y} x = 2 (y e^{y} - (e^{y} + C))$

Schritt 6.4

Vereinfache.

$e^{y} x = 2 (y e^{y} - e^{y}) + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $e^{y} x = 2 (y e^{y} - e^{y}) + C$ durch $e^{y}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{y} x = 2 (y e^{y} - e^{y}) + C$ durch $e^{y}$ .

$\frac{e^{y} x}{e^{y}} = \frac{2 (y e^{y} - e^{y})}{e^{y}} + \frac{C}{e^{y}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{y}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{y} x}{e^{y}} = \frac{2 (y e^{y} - e^{y})}{e^{y}} + \frac{C}{e^{y}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2 (y e^{y} - e^{y})}{e^{y}} + \frac{C}{e^{y}}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 (y e^{y} - e^{y}) + C}{e^{y}}$

Schritt 7.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{2 (y e^{y}) + 2 (- e^{y}) + C}{e^{y}}$

Schritt 7.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{2 y e^{y} - 2 e^{y} + C}{e^{y}}$