Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 2) + 4 x (y^{2} + 2 y + 1) = 0$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 2 + 4 x (y^{2} + 2 y + 1) = 0$

Schritt 1.1.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \cdot \frac{d y}{d x} + 4 x (y^{2} + 2 y + 1) = 0$

Schritt 1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x} + 4 x y^{2} + 4 x (2 y) + 4 x \cdot 1 = 0$

Schritt 1.1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x} + 4 x y^{2} + 4 \cdot 2 x y + 4 x \cdot 1 = 0$

Schritt 1.1.1.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x} + 4 x y^{2} + 4 \cdot 2 x y + 4 x = 0$

Schritt 1.1.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x} + 4 x y^{2} + 8 x y + 4 x = 0$

Schritt 1.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d y}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.2.1

Subtrahiere $4 x y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x} + 8 x y + 4 x = - 4 x y^{2}$

Schritt 1.1.2.2

Subtrahiere $8 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x} + 4 x = - 4 x y^{2} - 8 x y$

Schritt 1.1.2.3

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x} = - 4 x y^{2} - 8 x y - 4 x$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $\frac{d y}{d x}$ aus $\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x}$ heraus.

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Schritt 1.1.3.1

Faktorisiere $\frac{d y}{d x}$ aus $2 \frac{d y}{d x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 2 = - 4 x y^{2} - 8 x y - 4 x$

Schritt 1.1.3.2

Faktorisiere $\frac{d y}{d x}$ aus $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 2$ heraus.

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 2) = - 4 x y^{2} - 8 x y - 4 x$

Schritt 1.1.4

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 2) = - 4 x y^{2} - 8 x y - 4 x$ durch $x^{2} + 2$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 2) = - 4 x y^{2} - 8 x y - 4 x$ durch $x^{2} + 2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2} = \frac{- 4 x y^{2}}{x^{2} + 2} + \frac{- 8 x y}{x^{2} + 2} + \frac{- 4 x}{x^{2} + 2}$

Schritt 1.1.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 2$ .

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Schritt 1.1.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2} = \frac{- 4 x y^{2}}{x^{2} + 2} + \frac{- 8 x y}{x^{2} + 2} + \frac{- 4 x}{x^{2} + 2}$

Schritt 1.1.4.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 4 x y^{2}}{x^{2} + 2} + \frac{- 8 x y}{x^{2} + 2} + \frac{- 4 x}{x^{2} + 2}$

Schritt 1.1.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.4.3.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1.4.3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.3.1.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x y^{2}}{x^{2} + 2} + \frac{- 8 x y}{x^{2} + 2} + \frac{- 4 x}{x^{2} + 2}$

Schritt 1.1.4.3.1.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x y^{2}}{x^{2} + 2} - \frac{8 x y}{x^{2} + 2} + \frac{- 4 x}{x^{2} + 2}$

Schritt 1.1.4.3.1.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x y^{2}}{x^{2} + 2} - \frac{8 x y}{x^{2} + 2} - \frac{4 x}{x^{2} + 2}$

Schritt 1.1.4.3.1.2

Kombiniere zu einem Bruch.

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Schritt 1.1.4.3.1.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 4 x y^{2} - 8 x y}{x^{2} + 2} - \frac{4 x}{x^{2} + 2}$

Schritt 1.1.4.3.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 4 x y^{2} - 8 x y - 4 x}{x^{2} + 2}$

Schritt 1.1.4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.4.3.2.1

Faktorisiere $4 x$ aus $- 4 x y^{2} - 8 x y - 4 x$ heraus.

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Schritt 1.1.4.3.2.1.1

Faktorisiere $4 x$ aus $- 4 x y^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2}) - 8 x y - 4 x}{x^{2} + 2}$

Schritt 1.1.4.3.2.1.2

Faktorisiere $4 x$ aus $- 8 x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2}) + 4 x (- 2 y) - 4 x}{x^{2} + 2}$

Schritt 1.1.4.3.2.1.3

Faktorisiere $4 x$ aus $- 4 x$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2}) + 4 x (- 2 y) + 4 x (- 1)}{x^{2} + 2}$

Schritt 1.1.4.3.2.1.4

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (- 1 y^{2}) + 4 x (- 2 y)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2} - 2 y) + 4 x (- 1)}{x^{2} + 2}$

Schritt 1.1.4.3.2.1.5

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (- 1 y^{2} - 2 y) + 4 x (- 1)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2} - 2 y - 1)}{x^{2} + 2}$

Schritt 1.1.4.3.2.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.1.4.3.2.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ und deren Summe gleich $b = - 2$ ist.

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Schritt 1.1.4.3.2.2.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2} - 2 (y) - 1)}{x^{2} + 2}$

Schritt 1.1.4.3.2.2.1.2

Schreibe $- 2$ um als $- 1$ plus $- 1$

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2} + (- 1 - 1) y - 1)}{x^{2} + 2}$

Schritt 1.1.4.3.2.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2} - 1 y - 1 y - 1)}{x^{2} + 2}$

Schritt 1.1.4.3.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.1.4.3.2.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x ((- 1 y^{2} - 1 y) - 1 y - 1)}{x^{2} + 2}$

Schritt 1.1.4.3.2.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (y (- 1 y - 1) + 1 (- y - 1))}{x^{2} + 2}$

Schritt 1.1.4.3.2.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 1 y - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x ((- 1 y - 1) (y + 1))}{x^{2} + 2}$

Schritt 1.1.4.3.2.3

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- y - 1) (y + 1)}{x^{2} + 2}$

Schritt 1.1.4.3.2.4

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 1.1.4.3.2.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- (y) - 1) (y + 1)}{x^{2} + 2}$

Schritt 1.1.4.3.2.4.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- (y) - 1 (1)) (y + 1)}{x^{2} + 2}$

Schritt 1.1.4.3.2.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- (y + 1)) (y + 1)}{x^{2} + 2}$

Schritt 1.1.4.3.2.4.4

Schreibe $- (y + 1)$ als $- 1 (y + 1)$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 (y + 1)) (y + 1)}{x^{2} + 2}$

Schritt 1.1.4.3.2.4.5

Potenziere $y + 1$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x \cdot - 1 ({(y + 1)}^{1} (y + 1))}{x^{2} + 2}$

Schritt 1.1.4.3.2.4.6

Potenziere $y + 1$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x \cdot - 1 ({(y + 1)}^{1} {(y + 1)}^{1})}{x^{2} + 2}$

Schritt 1.1.4.3.2.4.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x \cdot - 1 {(y + 1)}^{1 + 1}}{x^{2} + 2}$

Schritt 1.1.4.3.2.4.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x \cdot - 1 {(y + 1)}^{2}}{x^{2} + 2}$

Schritt 1.1.4.3.2.4.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 4 x {(y + 1)}^{2}}{x^{2} + 2}$

Schritt 1.1.4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x {(y + 1)}^{2}}{x^{2} + 2}$

Schritt 1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{x^{2} + 2} {(y + 1)}^{2}$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{{(y + 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y + 1)}^{2}} (- \frac{4 x}{x^{2} + 2} {(y + 1)}^{2})$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{{(y + 1)}^{2}} (\frac{4 x}{x^{2} + 2} {(y + 1)}^{2})$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(y + 1)}^{2}$ .

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Schritt 1.4.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{{(y + 1)}^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{{(y + 1)}^{2}} (\frac{4 x}{x^{2} + 2} {(y + 1)}^{2})$

Schritt 1.4.2.2

Faktorisiere ${(y + 1)}^{2}$ aus $\frac{4 x}{x^{2} + 2} {(y + 1)}^{2}$ heraus.

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{{(y + 1)}^{2}} ({(y + 1)}^{2} \frac{4 x}{x^{2} + 2})$

Schritt 1.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{{(y + 1)}^{2}} ({(y + 1)}^{2} \frac{4 x}{x^{2} + 2})$

Schritt 1.4.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{x^{2} + 2}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} d y = - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{{(y + 1)}^{2}} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u_{1} = y + 1$ . Dann ist $d u_{1} = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u_{1} = y + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.2.1.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.2.1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

Schritt 2.2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.2.1

Bringe ${u_{1}}^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

Schritt 2.2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

Schritt 2.2.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

Schritt 2.2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{1}}^{- 2}$ nach $u_{1}$ gleich $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$- {u_{1}}^{- 1} + C_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

Schritt 2.2.4

Schreibe $- {u_{1}}^{- 1} + C_{1}$ als $- \frac{1}{u_{1}} + C_{1}$ um.

$- \frac{1}{u_{1}} + C_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

Schritt 2.2.5

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y + 1$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - \int \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

Schritt 2.3.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - (4 \int \frac{x}{x^{2} + 2} d x)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 4 \int \frac{x}{x^{2} + 2} d x$

Schritt 2.3.4

Sei $u_{2} = x^{2} + 2$ . Dann ist $d u_{2} = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.4.1

Es sei $u_{2} = x^{2} + 2$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.3.4.1.1

Differenziere $x^{2} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Schritt 2.3.4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.3.4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.3.4.1.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 2.3.4.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 2.3.4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 4$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = \frac{- 4}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 2.3.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.7.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.8

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 2 (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Schritt 2.3.9

Vereinfache.

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 2 \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Schritt 2.3.10

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{2} + 2$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 2 \ln (| x^{2} + 2 |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \frac{1}{y + 1} = - 2 \ln (| x^{2} + 2 |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Vereinfache $- 2 \ln (| x^{2} + 2 |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$- \frac{1}{y + 1} = - \ln ({| x^{2} + 2 |}^{2}) + C$

Schritt 3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y + 1, 1, 1$

Schritt 3.2.2

Entferne die Klammern.

$y + 1, 1, 1$

Schritt 3.2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y + 1$

Schritt 3.3

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{y + 1} = - \ln ({| x^{2} + 2 |}^{2}) + C$ mit $y + 1$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{y + 1} = - \ln ({| x^{2} + 2 |}^{2}) + C$ mit $y + 1$ .

$- \frac{1}{y + 1} (y + 1) = - \ln ({| x^{2} + 2 |}^{2}) (y + 1) + C (y + 1)$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 1$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{y + 1}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{y + 1} (y + 1) = - \ln ({| x^{2} + 2 |}^{2}) (y + 1) + C (y + 1)$

Schritt 3.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{y + 1} (y + 1) = - \ln ({| x^{2} + 2 |}^{2}) (y + 1) + C (y + 1)$

Schritt 3.3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = - \ln ({| x^{2} + 2 |}^{2}) (y + 1) + C (y + 1)$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1.1

Entferne den Absolutwert in ${| x^{2} + 2 |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$- 1 = - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) (y + 1) + C (y + 1)$

Schritt 3.3.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 = - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) y - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) \cdot 1 + C (y + 1)$

Schritt 3.3.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 = - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) y - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C (y + 1)$

Schritt 3.3.3.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 = - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) y - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y + C \cdot 1$

Schritt 3.3.3.1.5

Mutltipliziere $C$ mit $1$ .

$- 1 = - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) y - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y + C$

Schritt 3.3.3.2

Stelle die Faktoren in $- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) y - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y + C$ um.

$- 1 = - y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y + C$

Schritt 3.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Schreibe die Gleichung als $- y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y + C = - 1$ um.

$- y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y + C = - 1$

Schritt 3.4.2

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$- y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) = - C y - C - 1$

Schritt 3.4.3

Addiere $C y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y = - C - 1$

Schritt 3.4.4

Addiere $\ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y = - C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$

Schritt 3.4.5

Faktorisiere $y$ aus $- y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y$ heraus.

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Schritt 3.4.5.1

Faktorisiere $y$ aus $- y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$ heraus.

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})) + C y = - C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$

Schritt 3.4.5.2

Faktorisiere $y$ aus $C y$ heraus.

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})) + y C = - C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$

Schritt 3.4.5.3

Faktorisiere $y$ aus $y (- 1 \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})) + y C$ heraus.

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C) = - C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$

Schritt 3.4.6

Schreibe $- 1 \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$ als $- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$ um.

$y (- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C) = - C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$

Schritt 3.4.7

Teile jeden Ausdruck in $y (- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C) = - C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$ durch $- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.7.1

Teile jeden Ausdruck in $y (- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C) = - C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$ durch $- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C$ .

$\frac{y (- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C)}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} = \frac{- C}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{- 1}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{\ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

Schritt 3.4.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C$ .

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Schritt 3.4.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 3.4.7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- C}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{- 1}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{\ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

Schritt 3.4.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.7.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{C}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{- 1}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{\ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

Schritt 3.4.7.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{C}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} - \frac{1}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{\ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

Schritt 3.4.7.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.4.7.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- C - 1}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{\ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

Schritt 3.4.7.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

Schritt 3.4.7.3.2.3

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$y = \frac{- C - 1 (1) + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

Schritt 3.4.7.3.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- C - 1 (1)$ heraus.

$y = \frac{- (C + 1) + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

Schritt 3.4.7.3.2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$ heraus.

$y = \frac{- (C + 1) - 1 (- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

Schritt 3.4.7.3.2.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (C + 1) - 1 (- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))$ heraus.

$y = \frac{- (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

Schritt 3.4.7.3.2.7

Schreibe $- (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))$ als $- 1 (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))$ um.

$y = \frac{- 1 (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

Schritt 3.4.7.3.2.8

Faktorisiere $- 1$ aus $C$ heraus.

$y = \frac{- 1 (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - 1 (- C)}$

Schritt 3.4.7.3.2.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - 1 (- C)$ heraus.

$y = \frac{- 1 (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))}{- (\ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - C)}$

Schritt 3.4.7.3.2.10

Schreibe $- (\ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - C)$ als $- 1 (\ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - C)$ um.

$y = \frac{- 1 (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))}{- 1 (\ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - C)}$

Schritt 3.4.7.3.2.11

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{- 1 (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))}{- 1 (\ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - C)}$

Schritt 3.4.7.3.2.12

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{\ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - C}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{C - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{\ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$