Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = x \cos (x^{2})$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = x \cos (x^{2}) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int x \cos (x^{2}) d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int x \cos (x^{2}) d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Sei $u = x^{2}$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1

Es sei $u = x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \cos (u) d u$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \sin (u) + C_{2}$

Schritt 2.3.6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \sin (x^{2}) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \frac{1}{2} \sin (x^{2}) + K$