Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d t} = - b y (t)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $M (t) \frac{d y}{d t} + P (t) y = Q (t)$ um.

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Schritt 1.1

Addiere $b y t$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d t} + b y t = 0$

Schritt 1.2

Stelle die Terme um.

$\frac{d y}{d t} + b t y = 0$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (t) d t}$ , wobei $P (t) = b t$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int b t d t}$

Schritt 2.2

Integriere $b t$ .

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Schritt 2.2.1

Da $b$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $b$ aus dem Integral.

$e^{b \int t d t}$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$e^{b (\frac{1}{2} t^{2} + C)}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.2.3.1

Schreibe $b (\frac{1}{2} t^{2} + C)$ als $b \frac{1}{2} t^{2} + C$ um.

$e^{b \frac{1}{2} t^{2} + C}$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.2.1

Kombiniere $b$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{b}{2} t^{2} + C}$

Schritt 2.2.3.2.2

Kombiniere $\frac{b}{2}$ und $t^{2}$ .

$e^{\frac{b t^{2}}{2} + C}$

$e^{\frac{1}{2} b t^{2} + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{\frac{1}{2} b t^{2}}$

Schritt 2.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $b$ .

$e^{\frac{b}{2} t^{2}}$

Schritt 2.5

Kombiniere $\frac{b}{2}$ und $t^{2}$ .

$e^{\frac{b t^{2}}{2}}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{\frac{b t^{2}}{2}}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{\frac{b t^{2}}{2}}$ .

$e^{\frac{b t^{2}}{2}} \frac{d y}{d t} + e^{\frac{b t^{2}}{2}} (b t y) = e^{\frac{b t^{2}}{2}} \cdot 0$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $e^{\frac{b t^{2}}{2}}$ mit $0$ .

$e^{\frac{b t^{2}}{2}} \frac{d y}{d t} + e^{\frac{b t^{2}}{2}} (b t y) = 0$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren in $e^{\frac{b t^{2}}{2}} \frac{d y}{d t} + e^{\frac{b t^{2}}{2}} (b t y) = 0$ um.

$e^{\frac{b t^{2}}{2}} \frac{d y}{d t} + (b t) y e^{\frac{b t^{2}}{2}} = 0$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d t} [e^{\frac{b t^{2}}{2}} y] = 0$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d t} [e^{\frac{b t^{2}}{2}} y] d t = \int 0 d t$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$e^{\frac{b t^{2}}{2}} y = \int 0 d t$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Das Integral von $0$ nach $t$ ist $0$ .

$e^{\frac{b t^{2}}{2}} y = 0 + C$

Schritt 7.2

Addiere $0$ und $C$ .

$e^{\frac{b t^{2}}{2}} y = C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $e^{\frac{b t^{2}}{2}} y = C$ durch $e^{\frac{b t^{2}}{2}}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{\frac{b t^{2}}{2}} y = C$ durch $e^{\frac{b t^{2}}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{b t^{2}}{2}} y}{e^{\frac{b t^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{\frac{b t^{2}}{2}}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{\frac{b t^{2}}{2}}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{\frac{b t^{2}}{2}} y}{e^{\frac{b t^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{\frac{b t^{2}}{2}}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{b t^{2}}{2}}}$