Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \sin (x) - e^{- x} + 8 x^{3}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (\sin (x) - e^{- x} + 8 x^{3}) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \sin (x) - e^{- x} + 8 x^{3} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \sin (x) - e^{- x} + 8 x^{3} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int \sin (x) d x + \int - e^{- x} d x + \int 8 x^{3} d x$

Schritt 2.3.2

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} + \int - e^{- x} d x + \int 8 x^{3} d x$

Schritt 2.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} - \int e^{- x} d x + \int 8 x^{3} d x$

Schritt 2.3.4

Sei $u = - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.4.1

Es sei $u = - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.4.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.3.4.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 2.3.4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} - \int - e^{u} d u + \int 8 x^{3} d x$

Schritt 2.3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} - - \int e^{u} d u + \int 8 x^{3} d x$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} + 1 \int e^{u} d u + \int 8 x^{3} d x$

Schritt 2.3.6.2

Mutltipliziere $\int e^{u} d u$ mit $1$ .

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} + \int e^{u} d u + \int 8 x^{3} d x$

Schritt 2.3.7

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} + e^{u} + C_{3} + \int 8 x^{3} d x$

Schritt 2.3.8

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} + e^{u} + C_{3} + 8 \int x^{3} d x$

Schritt 2.3.9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} + e^{u} + C_{3} + 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{4})$

Schritt 2.3.10

Vereinfache.

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Schritt 2.3.10.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} + e^{u} + C_{3} + 8 (\frac{x^{4}}{4} + C_{4})$

Schritt 2.3.10.2

Vereinfache.

$y + C_{1} = - \cos (x) + e^{u} + 2 x^{4} + C_{5}$

Schritt 2.3.11

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$y + C_{1} = - \cos (x) + e^{- x} + 2 x^{4} + C_{5}$

Schritt 2.3.12

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = 2 x^{4} + e^{- x} - \cos (x) + C_{5}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = 2 x^{4} + e^{- x} - \cos (x) + K$