Analysis Beispiele

$(x + 1) d x + (y - 3) d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $(x + 1) d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$(y - 3) d y = - (x + 1) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y - 3 d y = \int - (x + 1) d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int y d y + \int - 3 d y = \int - (x + 1) d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 3 d y = \int - (x + 1) d x$

Schritt 2.2.3

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - 3 y + C_{2} = \int - (x + 1) d x$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = \int - (x + 1) d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere $- (x + 1)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = \int - x - 1 \cdot 1 d x$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = \int - x - 1 d x$

Schritt 2.3.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = \int - x d x + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = - \int x d x + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.6

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - x + C_{5}$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5}$

Schritt 2.3.7.2

Vereinfache.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = - \frac{1}{2} x^{2} - x + C_{6}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y = - \frac{1}{2} x^{2} - x + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y = - \frac{1}{2} x^{2} - x + K$

Schritt 3.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y = - \frac{x^{2}}{2} - x + K$

Schritt 3.3

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Addiere $\frac{x^{2}}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y + \frac{x^{2}}{2} = - x + K$

Schritt 3.3.2

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y + \frac{x^{2}}{2} + x = K$

Schritt 3.3.3

Subtrahiere $K$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y + \frac{x^{2}}{2} + x - K = 0$

Schritt 3.4

Multipliziere mit dem Hauptnenner $2$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 3 y) + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2

Vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 3 y) + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} + 2 (- 3 y) + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$y^{2} - 6 y + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} - 6 y + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} - 6 y + x^{2} + 2 x + 2 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y^{2} - 6 y + x^{2} + 2 x - 2 K = 0$

Schritt 3.4.3

Bewege $- 6 y$ .

$y^{2} + x^{2} + 2 x - 2 K - 6 y = 0$

Schritt 3.4.4

Bewege $2 x$ .

$y^{2} + x^{2} - 2 K + 2 x - 6 y = 0$

Schritt 3.4.5

Stelle $y^{2}$ und $x^{2}$ um.

$x^{2} + y^{2} - 2 K + 2 x - 6 y = 0$

Schritt 3.5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.6

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 6$ und $c = x^{2} - 2 K + 2 x$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} - 2 K + 2 x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7

Vereinfache.

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Schritt 3.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (x^{2} - 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 4 (- 2 K) - 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.4

Vereinfache.

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Schritt 3.7.1.4.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} + 8 K - 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} + 8 K - 8 x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.5

Faktorisiere $4$ aus $36 - 4 x^{2} + 8 K - 8 x$ heraus.

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Schritt 3.7.1.5.1

Faktorisiere $4$ aus $36$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) - 4 x^{2} + 8 K - 8 x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.5.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 4 (- x^{2}) + 8 K - 8 x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.5.3

Faktorisiere $4$ aus $8 K$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 4 (- x^{2}) + 4 (2 K) - 8 x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.5.4

Faktorisiere $4$ aus $- 8 x$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 4 (- x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.5.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (9) + 4 (- x^{2})$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9 - x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.5.6

Faktorisiere $4$ aus $4 (9 - x^{2}) + 4 (2 K)$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9 - x^{2} + 2 K) + 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.5.7

Faktorisiere $4$ aus $4 (9 - x^{2} + 2 K) + 4 (- 2 x)$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9 - x^{2} + 2 K - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.6

Schreibe $4 (9 - x^{2} + 2 K - 2 x)$ als $2^{2} (3^{2} - x^{2} + 2 K - 2 x)$ um.

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Schritt 3.7.1.6.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (9 - x^{2} + 2 K - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.6.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (3^{2} - x^{2} + 2 K - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3^{2} - x^{2} + 2 K - 2 x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.8

Potenziere $3$ mit $2$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{9 - x^{2} + 2 K - 2 x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{9 - x^{2} + 2 K - 2 x}}{2}$

Schritt 3.7.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 2 \sqrt{9 - x^{2} + 2 K - 2 x}}{2}$ .

$y = 3 \pm \sqrt{9 - x^{2} + 2 K - 2 x}$

Schritt 3.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = 3 + \sqrt{9 - x^{2} + 2 K - 2 x}$

$y = 3 - \sqrt{9 - x^{2} + 2 K - 2 x}$

$y = 3 + \sqrt{9 - x^{2} + 2 K - 2 x}$

$y = 3 - \sqrt{9 - x^{2} + 2 K - 2 x}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = 3 + \sqrt{9 - x^{2} + K - 2 x}$

$y = 3 - \sqrt{9 - x^{2} + K - 2 x}$