Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d t} = e^{2 t} - 2 y$ , $y (1) = 2$

Schritt 1

Addiere $2 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d t} + 2 y = e^{2 t}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (t) d t}$ , wobei $P (t) = 2$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int 2 d t}$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{2 t + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{2 t}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{2 t}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{2 t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + e^{2 t} (2 y) = e^{2 t} e^{2 t}$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t} e^{2 t}$

Schritt 3.3

Multipliziere $e^{2 t}$ mit $e^{2 t}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t + 2 t}$

Schritt 3.3.2

Addiere $2 t$ und $2 t$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{4 t}$

Schritt 3.4

Stelle die Faktoren in $e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{4 t}$ um.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 y e^{2 t} = e^{4 t}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d t} [e^{2 t} y] = e^{4 t}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d t} [e^{2 t} y] d t = \int e^{4 t} d t$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$e^{2 t} y = \int e^{4 t} d t$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Sei $u = 4 t$ . Dann ist $d u = 4 d t$ , folglich $\frac{1}{4} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.1.1

Es sei $u = 4 t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 7.1.1.1

Differenziere $4 t$ .

$\frac{d}{d t} [4 t]$

Schritt 7.1.1.2

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $4 t$ nach $t$ gleich $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 7.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Schritt 7.1.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$

Schritt 7.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{2 t} y = \int e^{u} \frac{1}{4} d u$

Schritt 7.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{4}$ .

$e^{2 t} y = \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Schritt 7.3

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$e^{2 t} y = \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Schritt 7.4

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{2 t} y = \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Schritt 7.5

Vereinfache.

$e^{2 t} y = \frac{1}{4} e^{u} + C$

Schritt 7.6

Ersetze alle $u$ durch $4 t$ .

$e^{2 t} y = \frac{1}{4} e^{4 t} + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $e^{2 t} y = \frac{1}{4} e^{4 t} + C$ durch $e^{2 t}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{2 t} y = \frac{1}{4} e^{4 t} + C$ durch $e^{2 t}$ .

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{\frac{1}{4} e^{4 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{2 t}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{\frac{1}{4} e^{4 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{4} e^{4 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{4 t}$ und $e^{2 t}$ .

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Schritt 8.3.1.1.1

Faktorisiere $e^{2 t}$ aus $\frac{1}{4} e^{4 t}$ heraus.

$y = \frac{e^{2 t} (\frac{1}{4} e^{2 t})}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Schritt 8.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.1.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$y = \frac{e^{2 t} (\frac{1}{4} e^{2 t})}{e^{2 t} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Schritt 8.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{e^{2 t} (\frac{1}{4} e^{2 t})}{e^{2 t} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Schritt 8.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\frac{1}{4} e^{2 t}}{1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Schritt 8.3.1.1.2.4

Dividiere $\frac{1}{4} e^{2 t}$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{4} e^{2 t} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Schritt 8.3.1.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $e^{2 t}$ .

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Schritt 9

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $1$ für $t$ und $2$ für $y$ in $y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{C}{e^{2 t}}$ ersetzt wird.

$2 = \frac{e^{2 \cdot 1}}{4} + \frac{C}{e^{2 \cdot 1}}$

Schritt 10

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 10.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{e^{2 \cdot 1}}{4} + \frac{C}{e^{2 \cdot 1}} = 2$ um.

$\frac{e^{2 \cdot 1}}{4} + \frac{C}{e^{2 \cdot 1}} = 2$

Schritt 10.2

Vereinfache $\frac{e^{2 \cdot 1}}{4} + \frac{C}{e^{2 \cdot 1}}$ .

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Schritt 10.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{e^{2}}{4} + \frac{C}{e^{2 \cdot 1}} = 2$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{e^{2}}{4} + \frac{C}{e^{2}} = 2$

Schritt 10.3

Subtrahiere $\frac{e^{2}}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{C}{e^{2}} = 2 - \frac{e^{2}}{4}$

Schritt 10.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $e^{2}$ .

$e^{2} \frac{C}{e^{2}} = e^{2} (2 - \frac{e^{2}}{4})$

Schritt 10.5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 10.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{2}$ .

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Schritt 10.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{2} \frac{C}{e^{2}} = e^{2} (2 - \frac{e^{2}}{4})$

Schritt 10.5.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$C = e^{2} (2 - \frac{e^{2}}{4})$

Schritt 10.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.5.2.1

Vereinfache $e^{2} (2 - \frac{e^{2}}{4})$ .

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Schritt 10.5.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$C = e^{2} \cdot 2 + e^{2} (- \frac{e^{2}}{4})$

Schritt 10.5.2.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2}$ .

$C = 2 \cdot e^{2} + e^{2} (- \frac{e^{2}}{4})$

Schritt 10.5.2.1.3

Multipliziere $e^{2} (- \frac{e^{2}}{4})$ .

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Schritt 10.5.2.1.3.1

Kombiniere $e^{2}$ und $\frac{e^{2}}{4}$ .

$C = 2 \cdot e^{2} - \frac{e^{2} e^{2}}{4}$

Schritt 10.5.2.1.3.2

Multipliziere $e^{2}$ mit $e^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.5.2.1.3.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$C = 2 \cdot e^{2} - \frac{e^{2 + 2}}{4}$

Schritt 10.5.2.1.3.2.2

Addiere $2$ und $2$ .

$C = 2 \cdot e^{2} - \frac{e^{4}}{4}$

$C = 2 e^{2} - \frac{e^{4}}{4}$

Schritt 11

Setze $2 e^{2} - \frac{e^{4}}{4}$ für $C$ in $y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{C}{e^{2 t}}$ ein und vereinfache.

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Schritt 11.1

Ersetze $C$ durch $2 e^{2} - \frac{e^{4}}{4}$ .

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{2 e^{2} - \frac{e^{4}}{4}}{e^{2 t}}$

Schritt 11.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.1.1

Um $2 e^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{2 e^{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{e^{4}}{4}}{e^{2 t}}$

Schritt 11.2.1.2

Kombiniere $2 e^{2}$ und $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{\frac{2 e^{2} \cdot 4}{4} - \frac{e^{4}}{4}}{e^{2 t}}$

Schritt 11.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{\frac{2 e^{2} \cdot 4 - e^{4}}{4}}{e^{2 t}}$

Schritt 11.2.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{\frac{8 e^{2} - e^{4}}{4}}{e^{2 t}}$

Schritt 11.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{8 e^{2} - e^{4}}{4} \cdot \frac{1}{e^{2 t}}$

Schritt 11.2.3

Mutltipliziere $\frac{8 e^{2} - e^{4}}{4}$ mit $\frac{1}{e^{2 t}}$ .

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$

Schritt 11.3

Um $\frac{e^{2 t}}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{e^{2 t}}{e^{2 t}}$ .

$y = \frac{e^{2 t}}{4} \cdot \frac{e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$

Schritt 11.4

Mutltipliziere $\frac{e^{2 t}}{4}$ mit $\frac{e^{2 t}}{e^{2 t}}$ .

$y = \frac{e^{2 t} e^{2 t}}{4 e^{2 t}} + \frac{8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$

Schritt 11.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{e^{2 t} e^{2 t} + 8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$

Schritt 11.6

Multipliziere $e^{2 t}$ mit $e^{2 t}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.6.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{e^{2 t + 2 t} + 8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$

Schritt 11.6.2

Addiere $2 t$ und $2 t$ .

$y = \frac{e^{4 t} + 8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$