Analysis Beispiele

$(x^{2} y - y) d x - x d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = x^{2} y - y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} y - y]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} y - y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [x^{2} y]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Da $x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x^{2} y$ nach $y$ gleich $x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{2} + \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d y} [- y]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{2} - \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{2} - 1 \cdot 1$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{2} - 1$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = - x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 1$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze $x^{2} - 1$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- 1$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$x^{2} - 1 = - 1$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$x^{2} - 1 = - 1$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $x^{2} - 1$ .

$\frac{x^{2} - 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 1 + 1}{N}$

Schritt 4.3

Ersetze $N$ durch $- x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Ersetze $N$ durch $- x$ .

$\frac{x^{2} - 1 + 1}{- x}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{x^{2} + 0}{- x}$

Schritt 4.3.2.2

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$\frac{x^{2}}{- x}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x \cdot x}{- x}$

Schritt 4.3.3.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{x}{- 1}$ .

$- 1 \cdot x$

Schritt 4.3.4

Schreibe $- 1 \cdot x$ als $- x$ um.

$- x$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - x d x}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int - x d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int x d x}$

Schritt 5.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Schritt 5.3

Schreibe $e^{- (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$ als $e^{- \frac{1}{2} x^{2}} + C$ um.

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{2} x^{2}} + C$

Schritt 5.4

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{x^{2}}{2}} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $(x^{2} y - y) d x - x d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Mutltipliziere $x^{2} y - y$ mit $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$(x^{2} y - y) e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x - x d y = 0$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}) d x - x d y = 0$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $- x$ mit $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$(x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}) d x - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d y$

Schritt 8

Integriere $N (x, y) = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} y + C$

Schritt 8.2

Schreibe $- x e^{- \frac{x^{2}}{2}} y + C$ als $- x e^{- \frac{1}{2} x^{2}} y + C$ um.

$f (x, y) = - x e^{- \frac{1}{2} x^{2}} y + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = - x e^{- \frac{1}{2} x^{2}} y + g (x)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [- x e^{- \frac{1}{2} x^{2}} y + g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x e^{- \frac{1}{2} x^{2}} y + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x e^{- \frac{1}{2} x^{2}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- x e^{- \frac{1}{2} x^{2}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x e^{- \frac{1}{2} x^{2}} y]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.3.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- x e^{- \frac{x^{2}}{2}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 11.3.2

Da $- y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x e^{- \frac{x^{2}}{2}} y$ nach $x$ gleich $- y \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{2}}]$ .

$- y \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 11.3.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$- y (x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}}] + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 11.3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - \frac{x^{2}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$- y (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 11.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- y (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 11.3.4.3

Ersetze alle $u$ durch $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$- y (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 11.3.5

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x^{2}}{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- y (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 11.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- y (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} (2 x))) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 11.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- y (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} (2 x))) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 11.3.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- y (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- 2 (\frac{1}{2}) x)) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 11.3.9

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$- y (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} (\frac{- 2}{2} x)) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 11.3.10

Kombiniere $\frac{- 2}{2}$ und $x$ .

$- y (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{- 2 x}{2}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 11.3.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.3.11.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$- y (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{2 (- x)}{2}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 11.3.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.3.11.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- y (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{2 (- x)}{2 (1)}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 11.3.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- y (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 11.3.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- y (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{- x}{1}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 11.3.11.2.4

Dividiere $- x$ durch $1$ .

$- y (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- x)) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 11.3.12

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- y (x^{1} x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot (- 1)) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 11.3.13

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- y (x^{1} x^{1} (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot (- 1)) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 11.3.14

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- y (x^{1 + 1} (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot (- 1)) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 11.3.15

Addiere $1$ und $1$ .

$- y (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot (- 1)) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 11.3.16

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$- y (x^{2} (- 1 \cdot e^{- \frac{x^{2}}{2}}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 11.3.17

Schreibe $- 1 e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ als $- e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ um.

$- y (x^{2} (- e^{- \frac{x^{2}}{2}}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 11.3.18

Mutltipliziere $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ mit $1$ .

$- y (x^{2} (- e^{- \frac{x^{2}}{2}}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$- y (x^{2} (- e^{- \frac{x^{2}}{2}}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}}) + \frac{d g}{d x} = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 11.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- y (x^{2} (- e^{- \frac{x^{2}}{2}})) - y e^{- \frac{x^{2}}{2}} + \frac{d g}{d x} = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 11.5.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{2}})) - y e^{- \frac{x^{2}}{2}} + \frac{d g}{d x} = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 11.5.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}} + \frac{d g}{d x} = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 11.5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2} y - e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 11.5.4

Stelle die Faktoren in $\frac{d g}{d x} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2} y - e^{- \frac{x^{2}}{2}} y$ um.

$\frac{d g}{d x} + x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}} = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.1

Subtrahiere $x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}} = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 12.1.2

Addiere $y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} + y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 12.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - y e^{- \frac{x^{2}}{2}} - x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}} + y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.3.1

Subtrahiere $x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ von $x^{2} y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{d g}{d x} = - y e^{- \frac{x^{2}}{2}} + 0 + y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 12.1.3.2

Addiere $- y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - y e^{- \frac{x^{2}}{2}} + y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 12.1.3.3

Addiere $- y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ und $y e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $0$ , um $g (x)$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Schritt 13.3

Das Integral von $0$ nach $x$ ist $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Schritt 13.4

Addiere $0$ und $C$ .

$g (x) = C$

Schritt 14

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = - x e^{- \frac{1}{2} x^{2}} y + g (x)$ ein.

$f (x, y) = - x e^{- \frac{1}{2} x^{2}} y + C$

Schritt 15

Vereinfache $f (x, y) = - x e^{- \frac{1}{2} x^{2}} y + C$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} y + C$

Schritt 15.2

Stelle die Faktoren in $f (x, y) = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} y + C$ um.

$f (x, y) = - x y e^{- \frac{x^{2}}{2}} + C$