Analysis Beispiele

$(x - 2) \frac{d y}{d x} + y = x^{2} - 4$

Schritt 1

Prüfe, ob die linke Seite der Gleichung das Ergebnis der Ableitung des Ausdrucks $(x - 2) y$ ist.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x - 2$ und $g (x) = y$ .

$(x - 2) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x - 2]$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$(x - 2) y' + y \frac{d}{d x} [x - 2]$

Schritt 1.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$(x - 2) y' + y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x - 2) y' + y (1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Schritt 1.5

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x - 2) y' + y (1 + 0)$

Schritt 1.6

Addiere $1$ und $0$ .

$(x - 2) y' + y \cdot 1$

Schritt 1.7

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$(x - 2) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Schritt 1.8

Stelle $y$ und $1$ um.

$(x - 2) \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Schritt 1.9

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$(x - 2) \frac{d y}{d x} + y$

Schritt 2

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [(x - 2) y] = x^{2} - 4$

Schritt 3

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [(x - 2) y] d x = \int x^{2} - 4 d x$

Schritt 4

Integriere die linke Seite.

$(x - 2) y = \int x^{2} - 4 d x$

Schritt 5

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$(x - 2) y = \int x^{2} d x + \int - 4 d x$

Schritt 5.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$(x - 2) y = \frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 4 d x$

Schritt 5.3

Wende die Konstantenregel an.

$(x - 2) y = \frac{1}{3} x^{3} + C - 4 x + C$

Schritt 5.4

Vereinfache.

$(x - 2) y = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + C$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $(x - 2) y = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + C$ durch $x - 2$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $(x - 2) y = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + C$ durch $x - 2$ .

$\frac{(x - 2) y}{x - 2} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x - 2} + \frac{- 4 x}{x - 2} + \frac{C}{x - 2}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 2) y}{x - 2} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x - 2} + \frac{- 4 x}{x - 2} + \frac{C}{x - 2}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x - 2} + \frac{- 4 x}{x - 2} + \frac{C}{x - 2}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x - 2} + \frac{- 4 x}{x - 2} + \frac{C}{x - 2}$

Schritt 6.3.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x - 2} + \frac{- 4 x}{x - 2} + \frac{C}{x - 2}$

Schritt 6.3.1.3

Mutltipliziere $\frac{x^{3}}{3}$ mit $\frac{1}{x - 2}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3 (x - 2)} + \frac{- 4 x}{x - 2} + \frac{C}{x - 2}$

Schritt 6.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{x^{3}}{3 (x - 2)} - \frac{4 x}{x - 2} + \frac{C}{x - 2}$

Schritt 6.3.2

Um $- \frac{4 x}{x - 2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3 (x - 2)} - \frac{4 x}{x - 2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{C}{x - 2}$

Schritt 6.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $3 (x - 2)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{4 x}{x - 2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3 (x - 2)} - \frac{4 x \cdot 3}{(x - 2) \cdot 3} + \frac{C}{x - 2}$

Schritt 6.3.3.2

Stelle die Faktoren von $(x - 2) \cdot 3$ um.

$y = \frac{x^{3}}{3 (x - 2)} - \frac{4 x \cdot 3}{3 (x - 2)} + \frac{C}{x - 2}$

Schritt 6.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x^{3} - 4 x \cdot 3}{3 (x - 2)} + \frac{C}{x - 2}$

Schritt 6.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} - 4 x \cdot 3$ heraus.

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Schritt 6.3.5.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$y = \frac{x \cdot x^{2} - 4 x \cdot 3}{3 (x - 2)} + \frac{C}{x - 2}$

Schritt 6.3.5.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x \cdot 3$ heraus.

$y = \frac{x \cdot x^{2} + x (- 4 \cdot 3)}{3 (x - 2)} + \frac{C}{x - 2}$

Schritt 6.3.5.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x (- 4 \cdot 3)$ heraus.

$y = \frac{x (x^{2} - 4 \cdot 3)}{3 (x - 2)} + \frac{C}{x - 2}$

Schritt 6.3.5.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$y = \frac{x (x^{2} - 12)}{3 (x - 2)} + \frac{C}{x - 2}$

Schritt 6.3.6

Um $\frac{C}{x - 2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x (x^{2} - 12)}{3 (x - 2)} + \frac{C}{x - 2} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 6.3.7

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $3 (x - 2)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.3.7.1

Mutltipliziere $\frac{C}{x - 2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x (x^{2} - 12)}{3 (x - 2)} + \frac{C \cdot 3}{(x - 2) \cdot 3}$

Schritt 6.3.7.2

Stelle die Faktoren von $(x - 2) \cdot 3$ um.

$y = \frac{x (x^{2} - 12)}{3 (x - 2)} + \frac{C \cdot 3}{3 (x - 2)}$

Schritt 6.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x (x^{2} - 12) + C \cdot 3}{3 (x - 2)}$

Schritt 6.3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 12 + C \cdot 3}{3 (x - 2)}$

Schritt 6.3.9.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.9.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 6.3.9.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = \frac{x^{1} x^{2} + x \cdot - 12 + C \cdot 3}{3 (x - 2)}$

Schritt 6.3.9.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{x^{1 + 2} + x \cdot - 12 + C \cdot 3}{3 (x - 2)}$

Schritt 6.3.9.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$y = \frac{x^{3} + x \cdot - 12 + C \cdot 3}{3 (x - 2)}$

Schritt 6.3.9.3

Bringe $- 12$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = \frac{x^{3} - 12 \cdot x + C \cdot 3}{3 (x - 2)}$

Schritt 6.3.9.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $C$ .

$y = \frac{x^{3} - 12 x + 3 C}{3 (x - 2)}$