Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 4 x + \frac{9 x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (4 x + \frac{9 x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}}) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 4 x + \frac{9 x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 4 x + \frac{9 x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int 4 x d x + \int \frac{9 x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Schritt 2.3.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 4 \int x d x + \int \frac{9 x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int \frac{9 x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Schritt 2.3.4

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 9 \int \frac{x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Schritt 2.3.5

Sei $u = 3 x^{3} + 1$ . Dann ist $d u = 9 x^{2} d x$ , folglich $\frac{1}{9} d u = x^{2} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.5.1

Es sei $u = 3 x^{3} + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.5.1.1

Differenziere $3 x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1]$

Schritt 2.3.5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{3} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.5.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Schritt 2.3.5.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{3}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.5.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.5.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.5.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$9 x^{2} + 0$

Schritt 2.3.5.1.4.2

Addiere $9 x^{2}$ und $0$ .

$9 x^{2}$

Schritt 2.3.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 9 \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{9} d u$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 9 \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{9} d u$

Schritt 2.3.6.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}$ mit $\frac{1}{9}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 9 \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}} \cdot 9} d u$

Schritt 2.3.6.3

Bringe $9$ auf die linke Seite von $u^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 9 \int \frac{1}{9 u^{\frac{3}{2}}} d u$

Schritt 2.3.7

Da $\frac{1}{9}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{9}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 9 (\frac{1}{9} \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u)$

Schritt 2.3.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.8.1

Vereinfache.

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Schritt 2.3.8.1.1

Kombiniere $\frac{1}{9}$ und $9$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{9}{9} \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Schritt 2.3.8.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 2.3.8.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{9}{9} \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Schritt 2.3.8.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 1 \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Schritt 2.3.8.1.3

Mutltipliziere $\int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$ mit $1$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Schritt 2.3.8.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.8.2.1

Bringe $u^{\frac{3}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \int {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 2.3.8.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.8.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \int u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 2.3.8.2.2.2

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 2.3.8.2.2.2.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $- 1$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \int u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

Schritt 2.3.8.2.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \int u^{\frac{- 3}{2}} d u$

Schritt 2.3.8.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \int u^{- \frac{3}{2}} d u$

Schritt 2.3.9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{3}{2}}$ nach $u$ gleich $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 2 u^{- \frac{1}{2}} + C_{3}$

Schritt 2.3.10

Vereinfache.

$y + C_{1} = 2 x^{2} - 2 u^{- \frac{1}{2}} + C_{4}$

Schritt 2.3.11

Ersetze alle $u$ durch $3 x^{3} + 1$ .

$y + C_{1} = 2 x^{2} - 2 {(3 x^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = 2 x^{2} - 2 {(3 x^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}} + K$