Analysis Beispiele

$(y^{3} + y + 1) d x + (x^{2} - 3 x y^{2} - x) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = y^{3} + y + 1$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{3} + y + 1]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{3} + y + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 1.5

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + 1 + 0$

Schritt 1.6

Addiere $3 y^{2} + 1$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + 1$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x^{2} - 3 x y^{2} - x$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x y^{2} - x]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 3 x y^{2} - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 3 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x y^{2}$ nach $x$ gleich $- 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 3 y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 3 y^{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 3 y^{2} - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 3 y^{2} - 1 \cdot 1$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 3 y^{2} - 1$

Schritt 2.5

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 y^{2} + 2 x - 1$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $3 y^{2} + 1$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- 3 y^{2} + 2 x - 1$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$3 y^{2} + 1 = - 3 y^{2} + 2 x - 1$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$3 y^{2} + 1 = - 3 y^{2} + 2 x - 1$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $3 y^{2} + 1$ .

$\frac{3 y^{2} + 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $- 3 y^{2} + 2 x - 1$ .

$\frac{3 y^{2} + 1 - (- 3 y^{2} + 2 x - 1)}{N}$

Schritt 4.3

Ersetze $N$ durch $x^{2} - 3 x y^{2} - x$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $N$ durch $x^{2} - 3 x y^{2} - x$ .

$\frac{3 y^{2} + 1 - (- 3 y^{2} + 2 x - 1)}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 y^{2} + 1 - (- 3 y^{2}) - (2 x) - - 1}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.2.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$\frac{3 y^{2} + 1 + 3 y^{2} - (2 x) - - 1}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Schritt 4.3.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{3 y^{2} + 1 + 3 y^{2} - 2 x - - 1}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Schritt 4.3.2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{3 y^{2} + 1 + 3 y^{2} - 2 x + 1}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Schritt 4.3.2.3

Addiere $3 y^{2}$ und $3 y^{2}$ .

$\frac{6 y^{2} + 1 - 2 x + 1}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Schritt 4.3.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{6 y^{2} - 2 x + 2}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Schritt 4.3.2.5

Faktorisiere $2$ aus $6 y^{2} - 2 x + 2$ heraus.

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Schritt 4.3.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $6 y^{2}$ heraus.

$\frac{2 (3 y^{2}) - 2 x + 2}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Schritt 4.3.2.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{2 (3 y^{2}) + 2 (- x) + 2}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Schritt 4.3.2.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (3 y^{2}) + 2 (- x) + 2 (1)}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Schritt 4.3.2.5.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 y^{2}) + 2 (- x)$ heraus.

$\frac{2 (3 y^{2} - x) + 2 (1)}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Schritt 4.3.2.5.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 y^{2} - x) + 2 (1)$ heraus.

$\frac{2 (3 y^{2} - x + 1)}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 3 x y^{2} - x$ heraus.

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Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (3 y^{2} - x + 1)}{x \cdot x - 3 x y^{2} - x}$

Schritt 4.3.3.2

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x y^{2}$ heraus.

$\frac{2 (3 y^{2} - x + 1)}{x \cdot x + x (- 3 y^{2}) - x}$

Schritt 4.3.3.3

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$\frac{2 (3 y^{2} - x + 1)}{x \cdot x + x (- 3 y^{2}) + x \cdot - 1}$

Schritt 4.3.3.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x (- 3 y^{2})$ heraus.

$\frac{2 (3 y^{2} - x + 1)}{x (x - 3 y^{2}) + x \cdot - 1}$

Schritt 4.3.3.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x - 3 y^{2}) + x \cdot - 1$ heraus.

$\frac{2 (3 y^{2} - x + 1)}{x (x - 3 y^{2} - 1)}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3 y^{2} - x + 1$ und $x - 3 y^{2} - 1$ .

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Schritt 4.3.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $3 y^{2}$ heraus.

$\frac{2 (- (- 3 y^{2}) - x + 1)}{x (x - 3 y^{2} - 1)}$

Schritt 4.3.4.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{2 (- (- 3 y^{2}) - (x) + 1)}{x (x - 3 y^{2} - 1)}$

Schritt 4.3.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (- 3 y^{2}) - (x)$ heraus.

$\frac{2 (- (- 3 y^{2} + x) + 1)}{x (x - 3 y^{2} - 1)}$

Schritt 4.3.4.4

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{2 (- (- 3 y^{2} + x) - 1 (- 1))}{x (x - 3 y^{2} - 1)}$

Schritt 4.3.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (- 3 y^{2} + x) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{2 (- (- 3 y^{2} + x - 1))}{x (x - 3 y^{2} - 1)}$

Schritt 4.3.4.6

Schreibe $- (- 3 y^{2} + x - 1)$ als $- 1 (- 3 y^{2} + x - 1)$ um.

$\frac{2 (- 1 (- 3 y^{2} + x - 1))}{x (x - 3 y^{2} - 1)}$

Schritt 4.3.4.7

Stelle die Terme um.

$\frac{2 (- 1 (- 3 y^{2} + x - 1))}{x (- 3 y^{2} + x - 1)}$

Schritt 4.3.4.8

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 1 (- 3 y^{2} + x - 1))}{x (- 3 y^{2} + x - 1)}$

Schritt 4.3.4.9

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{x}$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2}{x}$

Schritt 4.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{x}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Schritt 5.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 5.4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 5.5

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Schritt 5.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.1

Vereinfache $- 2 \ln (| x |)$ , indem du $- 2$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Schritt 5.6.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Schritt 5.6.3

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{- 2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Schritt 5.6.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $(y^{3} + y + 1) d x + (x^{2} - 3 x y^{2} - x) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $y^{3} + y + 1$ mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(y^{3} + y + 1) \frac{1}{x^{2}} d x + (x^{2} - 3 x y^{2} - x) d y = 0$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $y^{3} + y + 1$ mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + (x^{2} - 3 x y^{2} - x) d y = 0$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $x^{2} - 3 x y^{2} - x$ mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + (x^{2} - 3 x y^{2} - x) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $x^{2} - 3 x y^{2} - x$ mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x^{2} - 3 x y^{2} - x}{x^{2}} d y = 0$

Schritt 6.5

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 3 x y^{2} - x$ heraus.

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Schritt 6.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x \cdot x - 3 x y^{2} - x}{x^{2}} d y = 0$

Schritt 6.5.2

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x y^{2}$ heraus.

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x \cdot x + x (- 3 y^{2}) - x}{x^{2}} d y = 0$

Schritt 6.5.3

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x \cdot x + x (- 3 y^{2}) + x \cdot - 1}{x^{2}} d y = 0$

Schritt 6.5.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x (- 3 y^{2})$ heraus.

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x (x - 3 y^{2}) + x \cdot - 1}{x^{2}} d y = 0$

Schritt 6.5.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x - 3 y^{2}) + x \cdot - 1$ heraus.

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x (x - 3 y^{2} - 1)}{x^{2}} d y = 0$

Schritt 6.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.6.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x (x - 3 y^{2} - 1)}{x \cdot x} d y = 0$

Schritt 6.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x (x - 3 y^{2} - 1)}{x \cdot x} d y = 0$

Schritt 6.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x} d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x$

Schritt 8

Integriere $M (x, y) = \frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Da $y^{3} + y + 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $y^{3} + y + 1$ aus dem Integral.

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 8.2

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 8.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 8.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 8.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) \int x^{- 2} d x$

Schritt 8.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) (- x^{- 1} + C)$

Schritt 8.5

Schreibe $(y^{3} + y + 1) (- x^{- 1} + C)$ als $(y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x}) + C$ um.

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x}) + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x}) + g (y)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [(y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x}) + g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $(y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x}) + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [(y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [(y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d y} [(y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x})]$ .

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Schritt 11.3.1

Da $- \frac{1}{x}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $(y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x})$ nach $y$ gleich $- \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y^{3} + y + 1]$ .

$- \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y^{3} + y + 1] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Schritt 11.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{3} + y + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$- \frac{1}{x} (\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Schritt 11.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- \frac{1}{x} (3 y^{2} + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Schritt 11.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{1}{x} (3 y^{2} + 1 + \frac{d}{d y} [1]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Schritt 11.3.5

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$- \frac{1}{x} (3 y^{2} + 1 + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Schritt 11.3.6

Addiere $3 y^{2} + 1$ und $0$ .

$- \frac{1}{x} (3 y^{2} + 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$- \frac{1}{x} (3 y^{2} + 1) + \frac{d g}{d y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Schritt 11.5

Vereinfache.

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Schritt 11.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1}{x} (3 y^{2}) - \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{d g}{d y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Schritt 11.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 11.5.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 \frac{1}{x} y^{2} - \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{d g}{d y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Schritt 11.5.2.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- 3}{x} y^{2} - \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{d g}{d y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Schritt 11.5.2.3

Kombiniere $\frac{- 3}{x}$ und $y^{2}$ .

$\frac{- 3 y^{2}}{x} - \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{d g}{d y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Schritt 11.5.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{d g}{d y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Schritt 11.5.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{1}{x} + \frac{d g}{d y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Schritt 11.5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} - \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{1}{x} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 12.1

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 12.1.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1.1

Subtrahiere $\frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} - \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{1}{x} - \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x} = 0$

Schritt 12.1.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 3 y^{2} - 1 - (x - 3 y^{2} - 1)}{x} = 0$

Schritt 12.1.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 3 y^{2} - 1 - x - (- 3 y^{2}) - - 1}{x} = 0$

Schritt 12.1.1.3.2

Vereinfache.

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Schritt 12.1.1.3.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 3 y^{2} - 1 - x + 3 y^{2} - - 1}{x} = 0$

Schritt 12.1.1.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 3 y^{2} - 1 - x + 3 y^{2} + 1}{x} = 0$

Schritt 12.1.1.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 3 y^{2} - 1 - x + 3 y^{2} + 1$ .

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Schritt 12.1.1.4.1

Addiere $- 3 y^{2}$ und $3 y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 1 - x + 0 + 1}{x} = 0$

Schritt 12.1.1.4.2

Addiere $- 1 - x$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 1 - x + 1}{x} = 0$

Schritt 12.1.1.4.3

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x + 0}{x} = 0$

Schritt 12.1.1.4.4

Addiere $- x$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x}{x} = 0$

Schritt 12.1.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 12.1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x}{x} = 0$

Schritt 12.1.1.5.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\frac{d g}{d y} - 1 = 0$

Schritt 12.1.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = 1$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $1$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int d y$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int d y$

Schritt 13.3

Wende die Konstantenregel an.

$g (y) = y + C$

Schritt 14

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = (y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x}) + g (y)$ ein.

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x}) + y + C$

Schritt 15

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = y^{3} (- \frac{1}{x}) + y (- \frac{1}{x}) + 1 (- \frac{1}{x}) + y + C$

Schritt 15.2

Vereinfache.

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Schritt 15.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (x, y) = - y^{3} \frac{1}{x} + y (- \frac{1}{x}) + 1 (- \frac{1}{x}) + y + C$

Schritt 15.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (x, y) = - y^{3} \frac{1}{x} - y \frac{1}{x} + 1 (- \frac{1}{x}) + y + C$

Schritt 15.2.3

Mutltipliziere $- \frac{1}{x}$ mit $1$ .

$f (x, y) = - y^{3} \frac{1}{x} - y \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + y + C$

Schritt 15.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.3.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $y^{3}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{3}}{x} - y \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + y + C$

Schritt 15.3.2

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $y$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{3}}{x} - \frac{y}{x} - \frac{1}{x} + y + C$