Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 3 x y^{2} - 3 x}{x^{2} y + 2 y}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Faktorisiere.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $3 x$ aus $- 3 x y^{2} - 3 x$ heraus.

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Schritt 1.1.1.1

Faktorisiere $3 x$ aus $- 3 x y^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- 1 y^{2}) - 3 x}{x^{2} y + 2 y}$

Schritt 1.1.1.2

Faktorisiere $3 x$ aus $- 3 x$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- 1 y^{2}) + 3 x (- 1)}{x^{2} y + 2 y}$

Schritt 1.1.1.3

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x (- 1 y^{2}) + 3 x (- 1)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- 1 y^{2} - 1)}{x^{2} y + 2 y}$

Schritt 1.1.2

Schreibe $- 1 y^{2}$ als $- y^{2}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- y^{2} - 1)}{x^{2} y + 2 y}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $y$ aus $x^{2} y + 2 y$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $x^{2} y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- y^{2} - 1)}{y x^{2} + 2 y}$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $y$ aus $2 y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- y^{2} - 1)}{y x^{2} + y \cdot 2}$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $y$ aus $y x^{2} + y \cdot 2$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- y^{2} - 1)}{y (x^{2} + 2)}$

Schritt 1.3

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{x^{2} + 2} \cdot \frac{- y^{2} - 1}{y}$

Schritt 1.4

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{y}{- y^{2} - 1}$ .

$\frac{y}{- y^{2} - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{- y^{2} - 1} (\frac{3 x}{x^{2} + 2} \cdot \frac{- y^{2} - 1}{y})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $\frac{3 x}{x^{2} + 2}$ mit $\frac{- y^{2} - 1}{y}$ .

$\frac{y}{- y^{2} - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{- y^{2} - 1} \cdot \frac{3 x (- y^{2} - 1)}{(x^{2} + 2) y}$

Schritt 1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.5.2.1

Faktorisiere $y$ aus $(x^{2} + 2) y$ heraus.

$\frac{y}{- y^{2} - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{- y^{2} - 1} \cdot \frac{3 x (- y^{2} - 1)}{y (x^{2} + 2)}$

Schritt 1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{- y^{2} - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{- y^{2} - 1} \cdot \frac{3 x (- y^{2} - 1)}{y (x^{2} + 2)}$

Schritt 1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y}{- y^{2} - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y^{2} - 1} \cdot \frac{3 x (- y^{2} - 1)}{x^{2} + 2}$

Schritt 1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- y^{2} - 1$ .

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Schritt 1.5.3.1

Faktorisiere $- y^{2} - 1$ aus $3 x (- y^{2} - 1)$ heraus.

$\frac{y}{- y^{2} - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y^{2} - 1} \cdot \frac{(- y^{2} - 1) (3 x)}{x^{2} + 2}$

Schritt 1.5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{- y^{2} - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y^{2} - 1} \cdot \frac{(- y^{2} - 1) (3 x)}{x^{2} + 2}$

Schritt 1.5.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y}{- y^{2} - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{x^{2} + 2}$

Schritt 1.6

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{y}{- y^{2} - 1} d y = \frac{3 x}{x^{2} + 2} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{y}{- y^{2} - 1} d y = \int \frac{3 x}{x^{2} + 2} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u_{1} = - y^{2} - 1$ . Dann ist $d u_{1} = - 2 y d y$ , folglich $- \frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u_{1} = - y^{2} - 1$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $- y^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d y} [- y^{2} - 1]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- y^{2} - 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [- y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [- y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.2.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y^{2}$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$- \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- (2 y) + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 y + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.2.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.2.1.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$- 2 y + 0$

Schritt 2.2.1.1.4.2

Addiere $- 2 y$ und $0$ .

$- 2 y$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{1} = \int \frac{3 x}{x^{2} + 2} d x$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int \frac{1}{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1} = \int \frac{3 x}{x^{2} + 2} d x$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{1}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{3 x}{x^{2} + 2} d x$

Schritt 2.2.2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{1}$ .

$\int - \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{3 x}{x^{2} + 2} d x$

Schritt 2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{3 x}{x^{2} + 2} d x$

Schritt 2.2.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) = \int \frac{3 x}{x^{2} + 2} d x$

Schritt 2.2.5

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{3 x}{x^{2} + 2} d x$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

$- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{3 x}{x^{2} + 2} d x$

Schritt 2.2.7

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- y^{2} - 1$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| - y^{2} - 1 |) + C_{1} = \int \frac{3 x}{x^{2} + 2} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{2} \ln (| - y^{2} - 1 |) + C_{1} = 3 \int \frac{x}{x^{2} + 2} d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u_{2} = x^{2} + 2$ . Dann ist $d u_{2} = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u_{2} = x^{2} + 2$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $x^{2} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Schritt 2.3.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.3.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.3.2.1.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 2.3.2.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$- \frac{1}{2} \ln (| - y^{2} - 1 |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| - y^{2} - 1 |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| - y^{2} - 1 |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{2} \ln (| - y^{2} - 1 |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 2.3.5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $3$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| - y^{2} - 1 |) + C_{1} = \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.6

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| - y^{2} - 1 |) + C_{1} = \frac{3}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

$- \frac{1}{2} \ln (| - y^{2} - 1 |) + C_{1} = \frac{3}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Schritt 2.3.8

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{2} + 2$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| - y^{2} - 1 |) + C_{1} = \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 2 |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \frac{1}{2} \ln (| - y^{2} - 1 |) = \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 2 |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| - y^{2} - 1 |)) = - 2 (\frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 2 |) + C)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| - y^{2} - 1 |))$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\ln (| - y^{2} - 1 |)$ und $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| - y^{2} - 1 |)}{2}) = - 2 (\frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 2 |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\ln (| - y^{2} - 1 |)}{2}$ in den Zähler.

$- 2 \frac{- \ln (| - y^{2} - 1 |)}{2} = - 2 (\frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 2 |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (- 1) \frac{- \ln (| - y^{2} - 1 |)}{2} = - 2 (\frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 2 |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| - y^{2} - 1 |)}{2} = - 2 (\frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 2 |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- - \ln (| - y^{2} - 1 |) = - 2 (\frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 2 |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 3.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \ln (| - y^{2} - 1 |) = - 2 (\frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 2 |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $\ln (| - y^{2} - 1 |)$ mit $1$ .

$\ln (| - y^{2} - 1 |) = - 2 (\frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 2 |) + C)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $- 2 (\frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 2 |) + C)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $\ln (| x^{2} + 2 |)$ .

$\ln (| - y^{2} - 1 |) = - 2 (\frac{3 \ln (| x^{2} + 2 |)}{2} + C)$

Schritt 3.2.2.1.2

Um $C$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| - y^{2} - 1 |) = - 2 (\frac{3 \ln (| x^{2} + 2 |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Schritt 3.2.2.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Kombiniere $C$ und $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| - y^{2} - 1 |) = - 2 (\frac{3 \ln (| x^{2} + 2 |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\ln (| - y^{2} - 1 |) = - 2 \frac{3 \ln (| x^{2} + 2 |) + C \cdot 2}{2}$

Schritt 3.2.2.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\ln (| - y^{2} - 1 |) = 2 (- 1) \frac{3 \ln (| x^{2} + 2 |) + C \cdot 2}{2}$

Schritt 3.2.2.1.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| - y^{2} - 1 |) = 2 \cdot - 1 \frac{3 \ln (| x^{2} + 2 |) + C \cdot 2}{2}$

Schritt 3.2.2.1.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| - y^{2} - 1 |) = - (3 \ln (| x^{2} + 2 |) + C \cdot 2)$

Schritt 3.2.2.1.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $C$ .

$\ln (| - y^{2} - 1 |) = - (3 \ln (| x^{2} + 2 |) + 2 C)$

Schritt 3.2.2.1.5

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 3.2.2.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| - y^{2} - 1 |) = - (3 \ln (| x^{2} + 2 |)) - (2 C)$

Schritt 3.2.2.1.5.2

Multipliziere.

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Schritt 3.2.2.1.5.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\ln (| - y^{2} - 1 |) = - 3 \ln (| x^{2} + 2 |) - (2 C)$

Schritt 3.2.2.1.5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\ln (| - y^{2} - 1 |) = - 3 \ln (| x^{2} + 2 |) - 2 C$

Schritt 3.3

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| - y^{2} - 1 |) + 3 \ln (| x^{2} + 2 |) = - 2 C$

Schritt 3.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache $\ln (| - y^{2} - 1 |) + 3 \ln (| x^{2} + 2 |)$ .

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Schritt 3.4.1.1

Vereinfache $3 \ln (| x^{2} + 2 |)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (| - y^{2} - 1 |) + \ln ({| x^{2} + 2 |}^{3}) = - 2 C$

Schritt 3.4.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| - y^{2} - 1 | {| x^{2} + 2 |}^{3}) = - 2 C$

Schritt 3.5

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| - y^{2} - 1 | {| x^{2} + 2 |}^{3})} = e^{- 2 C}$

Schritt 3.6

Schreibe $\ln (| - y^{2} - 1 | {| x^{2} + 2 |}^{3}) = - 2 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 C} = | - y^{2} - 1 | {| x^{2} + 2 |}^{3}$

Schritt 3.7

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.7.1

Schreibe die Gleichung als $| - y^{2} - 1 | {| x^{2} + 2 |}^{3} = e^{- 2 C}$ um.

$| - y^{2} - 1 | {| x^{2} + 2 |}^{3} = e^{- 2 C}$

Schritt 3.7.2

Teile jeden Ausdruck in $| - y^{2} - 1 | {| x^{2} + 2 |}^{3} = e^{- 2 C}$ durch ${| x^{2} + 2 |}^{3}$ und vereinfache.

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Schritt 3.7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $| - y^{2} - 1 | {| x^{2} + 2 |}^{3} = e^{- 2 C}$ durch ${| x^{2} + 2 |}^{3}$ .

$\frac{| - y^{2} - 1 | {| x^{2} + 2 |}^{3}}{{| x^{2} + 2 |}^{3}} = \frac{e^{- 2 C}}{{| x^{2} + 2 |}^{3}}$

Schritt 3.7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${| x^{2} + 2 |}^{3}$ .

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Schritt 3.7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| - y^{2} - 1 | {| x^{2} + 2 |}^{3}}{{| x^{2} + 2 |}^{3}} = \frac{e^{- 2 C}}{{| x^{2} + 2 |}^{3}}$

Schritt 3.7.2.2.1.2

Dividiere $| - y^{2} - 1 |$ durch $1$ .

$| - y^{2} - 1 | = \frac{e^{- 2 C}}{{| x^{2} + 2 |}^{3}}$

Schritt 3.7.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$- y^{2} - 1 = \pm \frac{e^{- 2 C}}{{| x^{2} + 2 |}^{3}}$

Schritt 3.7.4

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- y^{2} = \pm \frac{e^{- 2 C}}{{| x^{2} + 2 |}^{3}} + 1$

Schritt 3.7.5

Teile jeden Ausdruck in $- y^{2} = \pm \frac{e^{- 2 C}}{{| x^{2} + 2 |}^{3}} + 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.7.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- y^{2} = \pm \frac{e^{- 2 C}}{{| x^{2} + 2 |}^{3}} + 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{{| x^{2} + 2 |}^{3}}}{- 1} + \frac{1}{- 1}$

Schritt 3.7.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.7.5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{{| x^{2} + 2 |}^{3}}}{- 1} + \frac{1}{- 1}$

Schritt 3.7.5.2.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{{| x^{2} + 2 |}^{3}}}{- 1} + \frac{1}{- 1}$

Schritt 3.7.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.7.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.7.5.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{{| x^{2} + 2 |}^{3}}}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 2 C}}{{| x^{2} + 2 |}^{3}}) + \frac{1}{- 1}$

Schritt 3.7.5.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 2 C}}{{| x^{2} + 2 |}^{3}})$ als $- (\pm \frac{e^{- 2 C}}{{| x^{2} + 2 |}^{3}})$ um.

$y^{2} = - (\pm \frac{e^{- 2 C}}{{| x^{2} + 2 |}^{3}}) + \frac{1}{- 1}$

Schritt 3.7.5.3.1.3

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$y^{2} = - (\pm \frac{e^{- 2 C}}{{| x^{2} + 2 |}^{3}}) - 1$

Schritt 3.7.6

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{- (\pm \frac{e^{- 2 C}}{{| x^{2} + 2 |}^{3}}) - 1}$

Schritt 3.7.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\pm \frac{e^{- 2 C}}{{| x^{2} + 2 |}^{3}}) - 1$ heraus.

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Schritt 3.7.7.1

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$y = \pm \sqrt{- (\pm \frac{e^{- 2 C}}{{| x^{2} + 2 |}^{3}}) - 1 (1)}$

Schritt 3.7.7.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\pm \frac{e^{- 2 C}}{{| x^{2} + 2 |}^{3}}) - 1 (1)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{- (\pm \frac{e^{- 2 C}}{{| x^{2} + 2 |}^{3}} + 1)}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm \sqrt{- (\pm \frac{C}{{| x^{2} + 2 |}^{3}} + 1)}$

Schritt 4.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = \pm \sqrt{- (C \frac{1}{{| x^{2} + 2 |}^{3}} + 1)}$