Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \sin (x^{2})$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $y$ aus $\frac{y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = \sin (x^{2})$

Schritt 1.2

Stelle $y$ und $\frac{1}{x}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = \sin (x^{2})$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{1}{x}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{\ln (x)}$

Schritt 2.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x \sin (x^{2})$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \sin (x^{2})$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \sin (x^{2})$

Schritt 3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \sin (x^{2})$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [x y] = x \sin (x^{2})$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x \sin (x^{2}) d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$x y = \int x \sin (x^{2}) d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Sei $u = x^{2}$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.1.1

Es sei $u = x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 7.1.1.1

Differenziere $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 7.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x$

Schritt 7.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$x y = \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Schritt 7.2

Kombiniere $\sin (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$x y = \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

Schritt 7.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$x y = \frac{1}{2} \int \sin (u) d u$

Schritt 7.4

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$x y = \frac{1}{2} (- \cos (u) + C)$

Schritt 7.5

Vereinfache.

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Schritt 7.5.1

Vereinfache.

$x y = \frac{1}{2} (- \cos (u)) + C$

Schritt 7.5.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\cos (u)$ .

$x y = - \frac{\cos (u)}{2} + C$

Schritt 7.6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$x y = - \frac{\cos (x^{2})}{2} + C$

Schritt 7.7

Stelle die Terme um.

$x y = - \frac{1}{2} \cos (x^{2}) + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $x y = - \frac{1}{2} \cos (x^{2}) + C$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $x y = - \frac{1}{2} \cos (x^{2}) + C$ durch $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{- \frac{1}{2} \cos (x^{2})}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y}{x} = \frac{- \frac{1}{2} \cos (x^{2})}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{2} \cos (x^{2})}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1.1

Kombiniere $\cos (x^{2})$ und $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{- \frac{\cos (x^{2})}{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 8.3.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = - \frac{\cos (x^{2})}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 8.3.1.3

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{\cos (x^{2})}{2}$ .

$y = - \frac{\cos (x^{2})}{x \cdot 2} + \frac{C}{x}$

Schritt 8.3.1.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = - \frac{\cos (x^{2})}{2 x} + \frac{C}{x}$