Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} - 2 x \ln (x^{2} + 1) = 0$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.1

Vereinfache $- 2 \ln (x^{2} + 1)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{d y}{d x} + x (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) = 0$

Schritt 1.1.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d y}{d x} - x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) = 0$

Schritt 1.1.2

Addiere $x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} = x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$

Schritt 1.2

Schreibe die Gleichung um.

$d y = x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Schreibe $x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ als $x (2 \ln (x^{2} + 1))$ um.

$y + C_{1} = \int x (2 \ln (x^{2} + 1)) d x$

Schritt 2.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 2 \int x (\ln (x^{2} + 1)) d x$

Schritt 2.3.3

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x^{2} + 1)$ und $d v = x$ .

$y + C_{1} = 2 (\ln (x^{2} + 1) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x)$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

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Schritt 2.3.4.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\ln (x^{2} + 1) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x)$

Schritt 2.3.4.2

Kombiniere $\ln (x^{2} + 1)$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x)$

Schritt 2.3.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x)$

Schritt 2.3.4.4

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{2}$ mit $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2} (2 x)}{2 (x^{2} + 1)} d x)$

Schritt 2.3.4.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.4.5.1

Bewege $x$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2}{2 (x^{2} + 1)} d x)$

Schritt 2.3.4.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.3.4.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{1} x^{2} \cdot 2}{2 (x^{2} + 1)} d x)$

Schritt 2.3.4.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{1 + 2} \cdot 2}{2 (x^{2} + 1)} d x)$

Schritt 2.3.4.5.3

Addiere $1$ und $2$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{3} \cdot 2}{2 (x^{2} + 1)} d x)$

Schritt 2.3.4.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{2 \cdot x^{3}}{2 (x^{2} + 1)} d x)$

Schritt 2.3.4.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.4.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{2 x^{3}}{2 (x^{2} + 1)} d x)$

Schritt 2.3.4.7.2

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{3}}{x^{2} + 1} d x)$

Schritt 2.3.5

Dividiere $x^{3}$ durch $x^{2} + 1$ .

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Schritt 2.3.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Schritt 2.3.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Schritt 2.3.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

Schritt 2.3.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} + 0 + x$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

Schritt 2.3.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

Schritt 2.3.5.6

Ziehe den nächsten Term vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

$0$

Schritt 2.3.5.7

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int x + \frac{- x}{x^{2} + 1} d x)$

Schritt 2.3.6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\int x d x + \int \frac{- x}{x^{2} + 1} d x))$

Schritt 2.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\int x d x + \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x))$

Schritt 2.3.8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x))$

Schritt 2.3.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} + \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x))$

Schritt 2.3.10

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} - \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x))$

Schritt 2.3.11

Sei $u = x^{2} + 1$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.11.1

Es sei $u = x^{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.11.1.1

Differenziere $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2.3.11.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.11.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.11.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 2.3.11.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 2.3.11.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u))$

Schritt 2.3.12

Vereinfache.

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Schritt 2.3.12.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u))$

Schritt 2.3.12.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} - \int \frac{1}{2 u} d u))$

Schritt 2.3.13

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)))$

Schritt 2.3.14

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{3})))$

Schritt 2.3.15

Vereinfache.

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Schritt 2.3.15.1

Vereinfache.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{\ln (| u |)}{2}) + C_{4}$

Schritt 2.3.15.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2} - x^{2}}{2} + \frac{\ln (| u |)}{2}) + C_{4}$

Schritt 2.3.16

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2} - x^{2}}{2} + \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2}) + C_{4}$

Schritt 2.3.17

Vereinfache.

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Schritt 2.3.17.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y + C_{1} = 2 \frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2} - x^{2} + \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.17.2

Stelle die Faktoren in $\ln (x^{2} + 1) x^{2} - x^{2} + \ln (| x^{2} + 1 |)$ um.

$y + C_{1} = 2 \frac{x^{2} \ln (x^{2} + 1) - x^{2} + \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.17.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.17.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = 2 \frac{x^{2} \ln (x^{2} + 1) - x^{2} + \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.17.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = x^{2} \ln (x^{2} + 1) - x^{2} + \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{4}$

Schritt 2.3.18

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = - x^{2} + x^{2} \ln (x^{2} + 1) + \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$y = - x^{2} + x^{2} \ln (x^{2} + 1) + \ln (| x^{2} + 1 |) + C$