Analysis Beispiele

$y \frac{d y}{d x} - x = 2 y^{2}$

Schritt 1

Es sei $v = y^{2}$ . Ersetze $v$ für alle $y^{2}$ .

$y \frac{d y}{d x} - x = 2 v$

Schritt 2

Finde $\frac{d v}{d x}$ durch Differenzierung von $y^{2}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{d v}{d x} = 2 y y'$

Schritt 3

Setze die Ableitung wieder in die Differentialgleichung ein.

$\frac{1}{2} \frac{d v}{d x} - x = 2 v$

Schritt 4

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ um.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $M (x) \frac{d v}{d x} + P (x) v = Q (x)$ um.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $2 v$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{2} \frac{d v}{d x} - x - 2 v = 0$

Schritt 4.1.2

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{2} \frac{d v}{d x} - 2 v = x$

Schritt 4.2

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{2} \frac{d v}{d x} - 2 v = x$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \frac{d v}{d x} \cdot 2 - 2 v \cdot 2 = x \cdot 2$

Schritt 4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2} \cdot 2 - 2 v \cdot 2 = x \cdot 2$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2} \cdot 2 - 2 v \cdot 2 = x \cdot 2$

Schritt 4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d v}{d x} - 2 v \cdot 2 = x \cdot 2$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{d v}{d x} - 4 v = x \cdot 2$

Schritt 4.6

Stelle $x$ und $2$ um.

$\frac{d v}{d x} - 4 v = 2 \cdot x$

Schritt 5

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - 4$ gilt.

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Schritt 5.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - 4 d x}$

Schritt 5.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{- 4 x + C}$

Schritt 5.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- 4 x}$

Schritt 6

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- 4 x}$ .

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Schritt 6.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- 4 x}$ .

$e^{- 4 x} \frac{d v}{d x} + e^{- 4 x} (- 4 v) = e^{- 4 x} (2 \cdot x)$

Schritt 6.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- 4 x} \frac{d v}{d x} - 4 e^{- 4 x} v = e^{- 4 x} (2 \cdot x)$

Schritt 6.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- 4 x} \frac{d v}{d x} - 4 e^{- 4 x} v = 2 e^{- 4 x} x$

Schritt 6.4

Stelle die Faktoren in $e^{- 4 x} \frac{d v}{d x} - 4 e^{- 4 x} v = 2 e^{- 4 x} x$ um.

$e^{- 4 x} \frac{d v}{d x} - 4 v e^{- 4 x} = 2 x e^{- 4 x}$

Schritt 7

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{- 4 x} v] = 2 x e^{- 4 x}$

Schritt 8

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 4 x} v] d x = \int 2 x e^{- 4 x} d x$

Schritt 9

Integriere die linke Seite.

$e^{- 4 x} v = \int 2 x e^{- 4 x} d x$

Schritt 10

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 10.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{- 4 x} v = 2 \int x e^{- 4 x} d x$

Schritt 10.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{- 4 x}$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (x (- \frac{1}{4} e^{- 4 x}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

Schritt 10.3

Vereinfache.

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Schritt 10.3.1

Kombiniere $e^{- 4 x}$ und $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (x (- \frac{e^{- 4 x}}{4}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

Schritt 10.3.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{- 4 x}}{4}$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

Schritt 10.3.3

Kombiniere $e^{- 4 x}$ und $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

Schritt 10.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - - \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

Schritt 10.5

Vereinfache.

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Schritt 10.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + 1 \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

Schritt 10.5.2

Mutltipliziere $\int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x$ mit $1$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

Schritt 10.6

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{- 4 x} d x)$

Schritt 10.7

Sei $u = - 4 x$ . Dann ist $d u = - 4 d x$ , folglich $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 10.7.1

Es sei $u = - 4 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 10.7.1.1

Differenziere $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 10.7.1.2

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 10.7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Schritt 10.7.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$- 4$

Schritt 10.7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{- 4} d u)$

Schritt 10.8

Vereinfache.

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Schritt 10.8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u} (- \frac{1}{4}) d u)$

Schritt 10.8.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int - \frac{e^{u}}{4} d u)$

Schritt 10.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- \int \frac{e^{u}}{4} d u))$

Schritt 10.10

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- (\frac{1}{4} \int e^{u} d u)))$

Schritt 10.11

Vereinfache.

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Schritt 10.11.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

Schritt 10.11.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

Schritt 10.12

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

Schritt 10.13

Vereinfache.

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Schritt 10.13.1

Schreibe $2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ als $2 (- \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ um.

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Schritt 10.13.2

Vereinfache.

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Schritt 10.13.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x}{4} e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Schritt 10.13.2.2

Kombiniere $e^{- 4 x}$ und $\frac{x}{4}$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Schritt 10.13.2.3

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{16}$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{u}}{16}) + C$

Schritt 10.14

Ersetze alle $u$ durch $- 4 x$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

Schritt 10.15

Vereinfache.

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Schritt 10.15.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4}) + 2 (- \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

Schritt 10.15.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.15.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{e^{- 4 x} x}{4}$ in den Zähler.

$e^{- 4 x} v = 2 \frac{- e^{- 4 x} x}{4} + 2 (- \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

Schritt 10.15.2.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$e^{- 4 x} v = 2 \frac{- e^{- 4 x} x}{2 (2)} + 2 (- \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

Schritt 10.15.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{- 4 x} v = 2 \frac{- e^{- 4 x} x}{2 \cdot 2} + 2 (- \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

Schritt 10.15.2.4

Forme den Ausdruck um.

$e^{- 4 x} v = \frac{- e^{- 4 x} x}{2} + 2 (- \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

Schritt 10.15.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.15.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{e^{- 4 x}}{16}$ in den Zähler.

$e^{- 4 x} v = \frac{- e^{- 4 x} x}{2} + 2 \frac{- e^{- 4 x}}{16} + C$

Schritt 10.15.3.2

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$e^{- 4 x} v = \frac{- e^{- 4 x} x}{2} + 2 \frac{- e^{- 4 x}}{2 (8)} + C$

Schritt 10.15.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{- 4 x} v = \frac{- e^{- 4 x} x}{2} + 2 \frac{- e^{- 4 x}}{2 \cdot 8} + C$

Schritt 10.15.3.4

Forme den Ausdruck um.

$e^{- 4 x} v = \frac{- e^{- 4 x} x}{2} + \frac{- e^{- 4 x}}{8} + C$

Schritt 10.15.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.15.4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{- 4 x} v = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} + \frac{- e^{- 4 x}}{8} + C$

Schritt 10.15.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{- 4 x} v = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} + C$

Schritt 10.15.5

Stelle die Faktoren in $- \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8}$ um.

$e^{- 4 x} v = - \frac{x e^{- 4 x}}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} + C$

Schritt 10.16

Stelle die Terme um.

$e^{- 4 x} v = - \frac{1}{2} x e^{- 4 x} - \frac{1}{8} e^{- 4 x} + C$

Schritt 11

Löse nach $v$ auf.

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Schritt 11.1

Vereinfache.

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Schritt 11.1.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 4 x} v = - \frac{x}{2} e^{- 4 x} - \frac{1}{8} e^{- 4 x} + C$

Schritt 11.1.2

Kombiniere $e^{- 4 x}$ und $\frac{x}{2}$ .

$e^{- 4 x} v = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{1}{8} e^{- 4 x} + C$

Schritt 11.1.3

Kombiniere $e^{- 4 x}$ und $\frac{1}{8}$ .

$e^{- 4 x} v = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} + C$

Schritt 11.2

Teile jeden Ausdruck in $e^{- 4 x} v = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} + C$ durch $e^{- 4 x}$ und vereinfache.

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Schritt 11.2.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{- 4 x} v = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} + C$ durch $e^{- 4 x}$ .

$\frac{e^{- 4 x} v}{e^{- 4 x}} = \frac{- \frac{e^{- 4 x} x}{2}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Schritt 11.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- 4 x}$ .

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Schritt 11.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{- 4 x} v}{e^{- 4 x}} = \frac{- \frac{e^{- 4 x} x}{2}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Schritt 11.2.2.1.2

Dividiere $v$ durch $1$ .

$v = \frac{- \frac{e^{- 4 x} x}{2}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Schritt 11.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$v = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} \cdot \frac{1}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Schritt 11.2.3.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{e^{- 4 x}}$ mit $\frac{e^{- 4 x} x}{2}$ .

$v = - \frac{e^{- 4 x} x}{e^{- 4 x} \cdot 2} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Schritt 11.2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- 4 x}$ .

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Schritt 11.2.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v = - \frac{e^{- 4 x} x}{e^{- 4 x} \cdot 2} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Schritt 11.2.3.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$v = - \frac{x}{2} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Schritt 11.2.3.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$v = - \frac{x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} \cdot \frac{1}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Schritt 11.2.3.1.5

Mutltipliziere $\frac{1}{e^{- 4 x}}$ mit $\frac{e^{- 4 x}}{8}$ .

$v = - \frac{x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x} \cdot 8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Schritt 11.2.3.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- 4 x}$ .

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Schritt 11.2.3.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v = - \frac{x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x} \cdot 8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Schritt 11.2.3.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$v = - \frac{x}{2} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Schritt 12

Ersetze alle $v$ durch $y^{2}$ .

$y^{2} = - \frac{x}{2} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Schritt 13

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 13.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{2} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$

Schritt 13.2

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{x}{2} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$ .

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Schritt 13.2.1

Um $- \frac{x}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$

Schritt 13.2.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 13.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{x}{2}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x \cdot 4}{2 \cdot 4} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$

Schritt 13.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x \cdot 4}{8} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$

Schritt 13.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{- x \cdot 4 - 1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$

Schritt 13.2.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- 4 x - 1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$

Schritt 13.2.5

Um $\frac{- 4 x - 1}{8}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- 4 x - 1}{8} \cdot \frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$

Schritt 13.2.6

Um $\frac{C}{e^{- 4 x}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- 4 x - 1}{8} \cdot \frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}} \cdot \frac{8}{8}}$

Schritt 13.2.7

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8 e^{- 4 x}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 13.2.7.1

Mutltipliziere $\frac{- 4 x - 1}{8}$ mit $\frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(- 4 x - 1) e^{- 4 x}}{8 e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}} \cdot \frac{8}{8}}$

Schritt 13.2.7.2

Mutltipliziere $\frac{C}{e^{- 4 x}}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(- 4 x - 1) e^{- 4 x}}{8 e^{- 4 x}} + \frac{C \cdot 8}{e^{- 4 x} \cdot 8}}$

Schritt 13.2.7.3

Stelle die Faktoren von $e^{- 4 x} \cdot 8$ um.

$y = \pm \sqrt{\frac{(- 4 x - 1) e^{- 4 x}}{8 e^{- 4 x}} + \frac{C \cdot 8}{8 e^{- 4 x}}}$

Schritt 13.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{(- 4 x - 1) e^{- 4 x} + C \cdot 8}{8 e^{- 4 x}}}$

Schritt 13.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.2.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \pm \sqrt{\frac{- 4 x e^{- 4 x} - 1 e^{- 4 x} + C \cdot 8}{8 e^{- 4 x}}}$

Schritt 13.2.9.2

Schreibe $- 1 e^{- 4 x}$ als $- e^{- 4 x}$ um.

$y = \pm \sqrt{\frac{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + C \cdot 8}{8 e^{- 4 x}}}$

Schritt 13.2.9.3

Bringe $8$ auf die linke Seite von $C$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}{8 e^{- 4 x}}}$

Schritt 13.2.10

Schreibe $\frac{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}{8 e^{- 4 x}}$ als ${(\frac{1}{2 e^{- 2 x}})}^{2} \frac{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}{2}$ um.

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Schritt 13.2.10.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}{8 e^{- 4 x}}}$

Schritt 13.2.10.2

Faktorisiere die perfekte Potenz ${(2 e^{- 2 x})}^{2}$ aus $8 e^{- 4 x}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}{{(2 e^{- 2 x})}^{2} \cdot 2}}$

Schritt 13.2.10.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}{{(2 e^{- 2 x})}^{2} \cdot 2}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2 e^{- 2 x}})}^{2} \frac{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}{2}}$

Schritt 13.2.11

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm \frac{1}{2 e^{- 2 x}} \sqrt{\frac{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}{2}}$

Schritt 13.2.12

Schreibe $\sqrt{\frac{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}{2}}$ als $\frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}}{\sqrt{2}}$ um.

$y = \pm \frac{1}{2 e^{- 2 x}} \cdot \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}}{\sqrt{2}}$

Schritt 13.2.13

Kombinieren.

$y = \pm \frac{1 \sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}}{2 e^{- 2 x} \sqrt{2}}$

Schritt 13.2.14

Mutltipliziere $\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}}{2 e^{- 2 x} \sqrt{2}}$

Schritt 13.2.15

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}}{2 e^{- 2 x} \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}}{2 e^{- 2 x} \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 13.2.16

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 13.2.16.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}}{2 e^{- 2 x} \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 13.2.16.2

Bewege $\sqrt{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 13.2.16.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Schritt 13.2.16.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Schritt 13.2.16.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 13.2.16.6

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 13.2.16.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 13.2.16.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 13.2.16.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 13.2.16.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 13.2.16.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.2.16.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 13.2.16.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} \cdot 2^{1}}$

Schritt 13.2.16.7.5

Berechne den Exponenten.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} \cdot 2}$

Schritt 13.2.17

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \pm \frac{\sqrt{(- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C) \cdot 2}}{2 e^{- 2 x} \cdot 2}$

Schritt 13.2.18

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 13.2.18.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C) \cdot 2}}{4 e^{- 2 x}}$

Schritt 13.2.18.2

Stelle die Faktoren in $\pm \frac{\sqrt{(- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C) \cdot 2}}{4 e^{- 2 x}}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

Schritt 13.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 13.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

Schritt 13.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

Schritt 13.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

Schritt 14

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + C)}}{4 e^{- 2 x}}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + C)}}{4 e^{- 2 x}}$