Analysis Beispiele

$x e^{x^{2} + y} d x = y d y$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Technik der exakten Differentialgleichung entspricht.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $y d y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x e^{x^{2} + y} d x - y d y = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = x e^{x^{2} + y}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x e^{x^{2} + y}]$

Schritt 2.2

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x e^{x^{2} + y}$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [e^{x^{2} + y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [e^{x^{2} + y}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = e^{y}$ und $g (y) = x^{2} + y$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x^{2} + y])$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{u} \frac{d}{d y} [x^{2} + y])$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} \frac{d}{d y} [x^{2} + y])$

Schritt 2.4

Differenziere.

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Schritt 2.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y]))$

Schritt 2.4.2

Da $x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x^{2}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} (0 + \frac{d}{d y} [y]))$

Schritt 2.4.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 2.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} \cdot 1)$

Schritt 2.4.5

Mutltipliziere $e^{x^{2} + y}$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x e^{x^{2} + y}$

Schritt 3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = - y$ .

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Schritt 3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.2

Da $- y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Schritt 4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 4.1

Setze $x e^{x^{2} + y}$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $0$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$x e^{x^{2} + y} = 0$

Schritt 4.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$x e^{x^{2} + y} = 0$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 5

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $0$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 5.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $x e^{x^{2} + y}$ .

$\frac{0 - (x e^{x^{2} + y})}{M}$

Schritt 5.3

Ersetze $M$ durch $x e^{x^{2} + y}$ .

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Schritt 5.3.1

Ersetze $M$ durch $x e^{x^{2} + y}$ .

$\frac{0 - (x e^{x^{2} + y})}{x e^{x^{2} + y}}$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $x e^{x^{2} + y}$ von $0$ .

$\frac{- x e^{x^{2} + y}}{x e^{x^{2} + y}}$

Schritt 5.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- x e^{x^{2} + y}}{x e^{x^{2} + y}}$

Schritt 5.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y}}$

Schritt 5.3.4

Ersetze $M$ durch $x e^{x^{2} + y}$ .

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Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y}}$

Schritt 5.3.4.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 5.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - 1 d y}$

Schritt 6

Berechne das Integral $e^{\int - 1 d y}$ .

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Schritt 6.1

Wende die Konstantenregel an.

$μ (x, y) = e^{- y + C}$

Schritt 6.2

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- y} + C$

Schritt 7

Multipliziere beide Seiten von $x e^{x^{2} + y} d x - y d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $e^{- y}$ .

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $x e^{x^{2} + y}$ mit $e^{- y}$ .

$x e^{x^{2} + y} e^{- y} d x - y d y = 0$

Schritt 7.2

Multipliziere $e^{x^{2} + y}$ mit $e^{- y}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.2.1

Bewege $e^{- y}$ .

$x (e^{- y} e^{x^{2} + y}) d x - y d y = 0$

Schritt 7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x e^{- y + x^{2} + y} d x - y d y = 0$

Schritt 7.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- y + x^{2} + y$ .

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Schritt 7.2.3.1

Addiere $- y$ und $y$ .

$x e^{x^{2} + 0} d x - y d y = 0$

Schritt 7.2.3.2

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$x e^{x^{2}} d x - y d y = 0$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $- y$ mit $e^{- y}$ .

$x e^{x^{2}} d x - y e^{- y} d y = 0$

Schritt 8

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{x^{2}} d x$

Schritt 9

Integriere $M (x, y) = x e^{x^{2}}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 9.1

Sei $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Dann ist $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 9.1.1

Es sei $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 9.1.1.1

Differenziere $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Schritt 9.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 9.1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 9.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 9.1.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 9.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Schritt 9.1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 9.1.1.4.1

Stelle die Faktoren von $e^{x^{2}} (2 x)$ um.

$2 e^{x^{2}} x$

Schritt 9.1.1.4.2

Stelle die Faktoren in $2 e^{x^{2}} x$ um.

$2 x e^{x^{2}}$

Schritt 9.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$f (x, y) = \int \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 9.2

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = \frac{1}{2} u_{2} + C$

Schritt 9.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $e^{x^{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$

Schritt 10

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)$

Schritt 11

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - y e^{- y}$

Schritt 12

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 12.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)] = - y e^{- y}$

Schritt 12.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y e^{- y}$

Schritt 12.3

Da $\frac{1}{2} e^{x^{2}}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2} e^{x^{2}}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y e^{- y}$

Schritt 12.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$0 + \frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$

Schritt 12.5

Addiere $0$ und $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $- y e^{- y}$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y e^{- y} d y$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y e^{- y} d y$

Schritt 13.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (y) = - \int y e^{- y} d y$

Schritt 13.4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = y$ und $d v = e^{- y}$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y)$

Schritt 13.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y)$

Schritt 13.6

Vereinfache.

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Schritt 13.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y)$

Schritt 13.6.2

Mutltipliziere $\int e^{- y} d y$ mit $1$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y)$

Schritt 13.7

Sei $u = - y$ . Dann ist $d u = - d y$ , folglich $- d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 13.7.1

Es sei $u = - y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 13.7.1.1

Differenziere $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 13.7.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 13.7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 13.7.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 13.7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u)$

Schritt 13.8

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u)$

Schritt 13.9

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$

Schritt 13.10

Schreibe $- (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$ als $- (- y e^{- y} - e^{u}) + C$ um.

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{u}) + C$

Schritt 13.11

Ersetze alle $u$ durch $- y$ .

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{- y}) + C$

Schritt 13.12

Vereinfache.

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Schritt 13.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$g (y) = - (- y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

Schritt 13.12.2

Multipliziere $- (- y e^{- y})$ .

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Schritt 13.12.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$g (y) = 1 (y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

Schritt 13.12.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$g (y) = y e^{- y} - - e^{- y} + C$

Schritt 13.12.3

Multipliziere $- - e^{- y}$ .

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Schritt 13.12.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$g (y) = y e^{- y} + 1 e^{- y} + C$

Schritt 13.12.3.2

Mutltipliziere $e^{- y}$ mit $1$ .

$g (y) = y e^{- y} + e^{- y} + C$

Schritt 14

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)$ ein.

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + y e^{- y} + e^{- y} + C$

Schritt 15

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{x^{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{x^{2}}}{2} + y e^{- y} + e^{- y} + C$