Analysis Beispiele

$e^{5 y} d y = e^{5 x} d x$

Schritt 1

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int e^{5 y} d y = \int e^{5 x} d x$

Schritt 1.2

Integriere die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Sei $u_{1} = 5 y$ . Dann ist $d u_{1} = 5 d y$ , folglich $\frac{1}{5} d u_{1} = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1

Es sei $u_{1} = 5 y$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1.1

Differenziere $5 y$ .

$\frac{d}{d y} [5 y]$

Schritt 1.2.1.1.2

Da $5$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $5 y$ nach $y$ gleich $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$5 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Schritt 1.2.1.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5$

Schritt 1.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{5} d u_{1} = \int e^{5 x} d x$

Schritt 1.2.2

Kombiniere $e^{u_{1}}$ und $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{5} d u_{1} = \int e^{5 x} d x$

Schritt 1.2.3

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{5} \int e^{u_{1}} d u_{1} = \int e^{5 x} d x$

Schritt 1.2.4

Das Integral von $e^{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{5} (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int e^{5 x} d x$

Schritt 1.2.5

Vereinfache.

$\frac{1}{5} e^{u_{1}} + C_{1} = \int e^{5 x} d x$

Schritt 1.2.6

Ersetze alle $u_{1}$ durch $5 y$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \int e^{5 x} d x$

Schritt 1.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Sei $u_{2} = 5 x$ . Dann ist $d u_{2} = 5 d x$ , folglich $\frac{1}{5} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1.1

Es sei $u_{2} = 5 x$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1.1.1

Differenziere $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 1.3.1.1.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Schritt 1.3.1.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5$

Schritt 1.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \int e^{u_{2}} \frac{1}{5} d u_{2}$

Schritt 1.3.2

Kombiniere $e^{u_{2}}$ und $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \int \frac{e^{u_{2}}}{5} d u_{2}$

Schritt 1.3.3

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \frac{1}{5} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 1.3.4

Das Integral von $e^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \frac{1}{5} (e^{u_{2}} + C_{2})$

Schritt 1.3.5

Vereinfache.

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \frac{1}{5} e^{u_{2}} + C_{2}$

Schritt 1.3.6

Ersetze alle $u_{2}$ durch $5 x$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \frac{1}{5} e^{5 x} + C_{2}$

Schritt 1.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{5} e^{5 y} = \frac{1}{5} e^{5 x} + K$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $5$ .

$5 (\frac{1}{5} e^{5 y}) = 5 (\frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

Schritt 2.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Vereinfache $5 (\frac{1}{5} e^{5 y})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $e^{5 y}$ .

$5 \frac{e^{5 y}}{5} = 5 (\frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \frac{e^{5 y}}{5} = 5 (\frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{5 y} = 5 (\frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Vereinfache $5 (\frac{1}{5} e^{5 x} + K)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $e^{5 x}$ .

$e^{5 y} = 5 (\frac{e^{5 x}}{5} + K)$

Schritt 2.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{5 y} = 5 \frac{e^{5 x}}{5} + 5 K$

Schritt 2.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{5 y} = 5 \frac{e^{5 x}}{5} + 5 K$

Schritt 2.2.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{5 y} = e^{5 x} + 5 K$

Schritt 2.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{5 y}) = \ln (e^{5 x} + 5 K)$

Schritt 2.4

Multipliziere die linke Seite aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Zerlege $\ln (e^{5 y})$ durch Herausziehen von $5 y$ aus dem Logarithmus.

$5 y \ln (e) = \ln (e^{5 x} + 5 K)$

Schritt 2.4.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$5 y \cdot 1 = \ln (e^{5 x} + 5 K)$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5 y = \ln (e^{5 x} + 5 K)$

Schritt 2.5

Teile jeden Ausdruck in $5 y = \ln (e^{5 x} + 5 K)$ durch $5$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $5 y = \ln (e^{5 x} + 5 K)$ durch $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{\ln (e^{5 x} + 5 K)}{5}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 y}{5} = \frac{\ln (e^{5 x} + 5 K)}{5}$

Schritt 2.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (e^{5 x} + 5 K)}{5}$

Schritt 3

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\ln (e^{5 x} + K)}{5}$