Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d t} = t + 2 e^{t - 7}$ ; and , $y (7) = 4$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (t + 2 e^{t - 7}) d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int t + 2 e^{t - 7} d t$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int t + 2 e^{t - 7} d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int t d t + \int 2 e^{t - 7} d t$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2} + \int 2 e^{t - 7} d t$

Schritt 2.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2} + 2 \int e^{t - 7} d t$

Schritt 2.3.4

Sei $u = t - 7$ . Dann ist $d u = d t$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.4.1

Es sei $u = t - 7$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 2.3.4.1.1

Differenziere $t - 7$ .

$\frac{d}{d t} [t - 7]$

Schritt 2.3.4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t - 7$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 7]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 7]$

Schritt 2.3.4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- 7]$

Schritt 2.3.4.1.4

Da $- 7$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.3.4.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.3.4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2} + 2 \int e^{u} d u$

Schritt 2.3.5

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2} + 2 (e^{u} + C_{3})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{u} + C_{4}$

Schritt 2.3.7

Ersetze alle $u$ durch $t - 7$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 7} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 7} + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $7$ für $t$ und $4$ für $y$ in $y = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 7} + K$ ersetzt wird.

$4 = \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 2 e^{7 - 7} + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 2 e^{7 - 7} + K = 4$ um.

$\frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 2 e^{7 - 7} + K = 4$

Schritt 4.2

Vereinfache $\frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 2 e^{7 - 7} + K$ .

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $7$ von $7$ .

$\frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 2 e^{0} + K = 4$

Schritt 4.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 49 + 2 e^{0} + K = 4$

Schritt 4.2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $49$ .

$\frac{49}{2} + 2 e^{0} + K = 4$

Schritt 4.2.2.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{49}{2} + 2 \cdot 1 + K = 4$

Schritt 4.2.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{49}{2} + 2 + K = 4$

Schritt 4.2.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{49}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2} + K = 4$

Schritt 4.2.4

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{49}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2} + K = 4$

Schritt 4.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{49 + 2 \cdot 2}{2} + K = 4$

Schritt 4.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{49 + 4}{2} + K = 4$

Schritt 4.2.6.2

Addiere $49$ und $4$ .

$\frac{53}{2} + K = 4$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $\frac{53}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = 4 - \frac{53}{2}$

Schritt 4.3.2

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$K = 4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{53}{2}$

Schritt 4.3.3

Kombiniere $4$ und $\frac{2}{2}$ .

$K = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{53}{2}$

Schritt 4.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$K = \frac{4 \cdot 2 - 53}{2}$

Schritt 4.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$K = \frac{8 - 53}{2}$

Schritt 4.3.5.2

Subtrahiere $53$ von $8$ .

$K = \frac{- 45}{2}$

Schritt 4.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$K = - \frac{45}{2}$

Schritt 5

Setze $- \frac{45}{2}$ für $K$ in $y = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 7} + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $- \frac{45}{2}$ .

$y = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 7} - \frac{45}{2}$

Schritt 5.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t^{2}$ .

$y = \frac{t^{2}}{2} + 2 e^{t - 7} - \frac{45}{2}$

Schritt 5.3

Um $2 e^{t - 7}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{t^{2}}{2} + 2 e^{t - 7} \cdot \frac{2}{2} - \frac{45}{2}$

Schritt 5.4

Kombiniere $2 e^{t - 7}$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{t^{2}}{2} + \frac{2 e^{t - 7} \cdot 2}{2} - \frac{45}{2}$

Schritt 5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{t^{2} + 2 e^{t - 7} \cdot 2}{2} - \frac{45}{2}$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{t^{2} + 4 e^{t - 7}}{2} - \frac{45}{2}$