Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = - 3 x^{2} e^{- x^{3}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = - 3 x^{2} e^{- x^{3}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int - 3 x^{2} e^{- x^{3}} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int - 3 x^{2} e^{- x^{3}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - 3 \int x^{2} e^{- x^{3}} d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u_{2} = e^{- x^{3}}$ . Dann ist $d u_{2} = - 3 x^{2} e^{- x^{3}} d x$ , folglich $- \frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{- x^{3}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u_{2} = e^{- x^{3}}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $e^{- x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{3}}]$

Schritt 2.3.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x^{3}$ .

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Schritt 2.3.2.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.3.2.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- x^{3}$ .

$e^{- x^{3}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.3.2.1.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.2.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$e^{- x^{3}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 2.3.2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$e^{- x^{3}} (- (3 x^{2}))$

Schritt 2.3.2.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$e^{- x^{3}} (- 3 x^{2})$

Schritt 2.3.2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1.4.1

Stelle die Faktoren von $e^{- x^{3}} (- 3 x^{2})$ um.

$- 3 e^{- x^{3}} x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.4.2

Stelle die Faktoren in $- 3 e^{- x^{3}} x^{2}$ um.

$- 3 x^{2} e^{- x^{3}}$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$y + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{- 3} d u_{2}$

Schritt 2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + C_{1} = - 3 \int - \frac{1}{3} d u_{2}$

Schritt 2.3.4

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = - 3 (- \frac{1}{3} u_{2} + C_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.5.1

Vereinfache.

$y + C_{1} = - 3 (- \frac{1}{3} u_{2}) + C_{2}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.2.1

Kombiniere $u_{2}$ und $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = - 3 (- \frac{u_{2}}{3}) + C_{2}$

Schritt 2.3.5.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$y + C_{1} = 3 \frac{u_{2}}{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.5.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{u_{2}}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{3 u_{2}}{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \frac{3 u_{2}}{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.5.2.4.2

Dividiere $u_{2}$ durch $1$ .

$y + C_{1} = u_{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.5.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $e^{- x^{3}}$ .

$y + C_{1} = e^{- x^{3}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = e^{- x^{3}} + K$