Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y}{t} - 7$

Schritt 1

Es gilt $V = \frac{y}{t}$ . Ersetze $V$ für $\frac{y}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - V - 7$

Schritt 2

Löse $V = \frac{y}{t}$ nach $y$ auf.

$y = V t$

Schritt 3

Verwende die Produktregel um die Ableitung von $y = V t$ nach $t$ zu finden.

$\frac{d y}{d t} = t \frac{d V}{d t} + V$

Schritt 4

Ersetze $\frac{d y}{d t}$ durch $t \frac{d V}{d t} + V$ .

$t \frac{d V}{d t} + V = - V - 7$

Schritt 5

Löse die substituierte Differentialgleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Separiere die Variablen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Löse nach $\frac{d V}{d t}$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d V}{d t}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1.1.1

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$t \frac{d V}{d t} = - V - 7 - V$

Schritt 5.1.1.1.2

Subtrahiere $V$ von $- V$ .

$t \frac{d V}{d t} = - 2 V - 7$

Schritt 5.1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $t \frac{d V}{d t} = - 2 V - 7$ durch $t$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $t \frac{d V}{d t} = - 2 V - 7$ durch $t$ .

$\frac{t \frac{d V}{d t}}{t} = \frac{- 2 V}{t} + \frac{- 7}{t}$

Schritt 5.1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t \frac{d V}{d t}}{t} = \frac{- 2 V}{t} + \frac{- 7}{t}$

Schritt 5.1.1.2.2.1.2

Dividiere $\frac{d V}{d t}$ durch $1$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{- 2 V}{t} + \frac{- 7}{t}$

Schritt 5.1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1.2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d V}{d t} = - \frac{2 V}{t} + \frac{- 7}{t}$

Schritt 5.1.1.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d V}{d t} = - \frac{2 V}{t} - \frac{7}{t}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{2 V}{t} - \frac{7}{t}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{2 V}{t}$ heraus.

$\frac{d V}{d t} = - (\frac{2 V}{t}) - \frac{7}{t}$

Schritt 5.1.2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{7}{t}$ heraus.

$\frac{d V}{d t} = - (\frac{2 V}{t}) - (\frac{7}{t})$

Schritt 5.1.2.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\frac{2 V}{t}) - (\frac{7}{t})$ heraus.

$\frac{d V}{d t} = - (\frac{2 V}{t} + \frac{7}{t})$

Schritt 5.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d V}{d t} = - \frac{2 V + 7}{t}$

Schritt 5.1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{2 V + 7}$ .

$\frac{1}{2 V + 7} \frac{d V}{d t} = \frac{1}{2 V + 7} (- \frac{2 V + 7}{t})$

Schritt 5.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{2 V + 7} \frac{d V}{d t} = - \frac{1}{2 V + 7} \cdot \frac{2 V + 7}{t}$

Schritt 5.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 V + 7$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.4.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2 V + 7}$ in den Zähler.

$\frac{1}{2 V + 7} \frac{d V}{d t} = \frac{- 1}{2 V + 7} \cdot \frac{2 V + 7}{t}$

Schritt 5.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 V + 7} \frac{d V}{d t} = \frac{- 1}{2 V + 7} \cdot \frac{2 V + 7}{t}$

Schritt 5.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2 V + 7} \frac{d V}{d t} = - \frac{1}{t}$

Schritt 5.1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{2 V + 7} d V = - \frac{1}{t} d t$

Schritt 5.2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{2 V + 7} d V = \int - \frac{1}{t} d t$

Schritt 5.2.2

Integriere die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Sei $u = 2 V + 7$ . Dann ist $d u = 2 d V$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d V$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1.1

Es sei $u = 2 V + 7$ . Ermittle $\frac{d u}{d V}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1.1.1

Differenziere $2 V + 7$ .

$\frac{d}{d V} [2 V + 7]$

Schritt 5.2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 V + 7$ nach $V$ $\frac{d}{d V} [2 V] + \frac{d}{d V} [7]$ .

$\frac{d}{d V} [2 V] + \frac{d}{d V} [7]$

Schritt 5.2.2.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d V} [2 V]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $V$ ist, ist die Ableitung von $2 V$ nach $V$ gleich $2 \frac{d}{d V} [V]$ .

$2 \frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [7]$

Schritt 5.2.2.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ gleich $n V^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d V} [7]$

Schritt 5.2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d V} [7]$

Schritt 5.2.2.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1.1.4.1

Da $7$ konstant bezüglich $V$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $V$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 5.2.2.1.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 5.2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - \frac{1}{t} d t$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int - \frac{1}{t} d t$

Schritt 5.2.2.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int - \frac{1}{t} d t$

Schritt 5.2.2.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{t} d t$

Schritt 5.2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{t} d t$

Schritt 5.2.2.5

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{t} d t$

Schritt 5.2.2.6

Ersetze alle $u$ durch $2 V + 7$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 V + 7 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{t} d t$

Schritt 5.2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 V + 7 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{t} d t$

Schritt 5.2.3.2

Das Integral von $\frac{1}{t}$ nach $t$ ist $\ln (| t |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 V + 7 |) + C_{1} = - (\ln (| t |) + C_{2})$

Schritt 5.2.3.3

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 V + 7 |) + C_{1} = - \ln (| t |) + C_{2}$

Schritt 5.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 V + 7 |) = - \ln (| t |) + C$

Schritt 5.3

Löse nach $V$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 V + 7 |)) = 2 (- \ln (| t |) + C)$

Schritt 5.3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 V + 7 |))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (| 2 V + 7 |)$ .

$2 \frac{\ln (| 2 V + 7 |)}{2} = 2 (- \ln (| t |) + C)$

Schritt 5.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{\ln (| 2 V + 7 |)}{2} = 2 (- \ln (| t |) + C)$

Schritt 5.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| 2 V + 7 |) = 2 (- \ln (| t |) + C)$

Schritt 5.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.1

Vereinfache $2 (- \ln (| t |) + C)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| 2 V + 7 |) = 2 (- \ln (| t |)) + 2 C$

Schritt 5.3.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\ln (| 2 V + 7 |) = - 2 \ln (| t |) + 2 C$

Schritt 5.3.3

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| 2 V + 7 |) + 2 \ln (| t |) = 2 C$

Schritt 5.3.4

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.1

Vereinfache $\ln (| 2 V + 7 |) + 2 \ln (| t |)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.1.1.1

Vereinfache $2 \ln (| t |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (| 2 V + 7 |) + \ln ({| t |}^{2}) = 2 C$

Schritt 5.3.4.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| t |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\ln (| 2 V + 7 |) + \ln (t^{2}) = 2 C$

Schritt 5.3.4.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 2 V + 7 | t^{2}) = 2 C$

Schritt 5.3.4.1.3

Stelle die Faktoren in $\ln (| 2 V + 7 | t^{2})$ um.

$\ln (t^{2} | 2 V + 7 |) = 2 C$

Schritt 5.3.5

Um nach $V$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (t^{2} | 2 V + 7 |)} = e^{2 C}$

Schritt 5.3.6

Schreibe $\ln (t^{2} | 2 V + 7 |) = 2 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = t^{2} | 2 V + 7 |$

Schritt 5.3.7

Löse nach $V$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.7.1

Schreibe die Gleichung als $t^{2} | 2 V + 7 | = e^{2 C}$ um.

$t^{2} | 2 V + 7 | = e^{2 C}$

Schritt 5.3.7.2

Teile jeden Ausdruck in $t^{2} | 2 V + 7 | = e^{2 C}$ durch $t^{2}$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $t^{2} | 2 V + 7 | = e^{2 C}$ durch $t^{2}$ .

$\frac{t^{2} | 2 V + 7 |}{t^{2}} = \frac{e^{2 C}}{t^{2}}$

Schritt 5.3.7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t^{2} | 2 V + 7 |}{t^{2}} = \frac{e^{2 C}}{t^{2}}$

Schritt 5.3.7.2.2.1.2

Dividiere $| 2 V + 7 |$ durch $1$ .

$| 2 V + 7 | = \frac{e^{2 C}}{t^{2}}$

Schritt 5.3.7.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$2 V + 7 = \pm \frac{e^{2 C}}{t^{2}}$

Schritt 5.3.7.4

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 V = \pm \frac{e^{2 C}}{t^{2}} - 7$

Schritt 5.3.7.5

Teile jeden Ausdruck in $2 V = \pm \frac{e^{2 C}}{t^{2}} - 7$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.7.5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 V = \pm \frac{e^{2 C}}{t^{2}} - 7$ durch $2$ .

$\frac{2 V}{2} = \frac{\pm \frac{e^{2 C}}{t^{2}}}{2} + \frac{- 7}{2}$

Schritt 5.3.7.5.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.7.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.7.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 V}{2} = \frac{\pm \frac{e^{2 C}}{t^{2}}}{2} + \frac{- 7}{2}$

Schritt 5.3.7.5.2.1.2

Dividiere $V$ durch $1$ .

$V = \frac{\pm \frac{e^{2 C}}{t^{2}}}{2} + \frac{- 7}{2}$

Schritt 5.3.7.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.7.5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$V = \frac{\pm \frac{e^{2 C}}{t^{2}}}{2} - \frac{7}{2}$

Schritt 5.4

Gruppiere die konstanten Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$V = \frac{\pm \frac{C}{t^{2}}}{2} - \frac{7}{2}$

Schritt 5.4.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$V = \frac{C \frac{1}{t^{2}}}{2} - \frac{7}{2}$

Schritt 6

Ersetze $V$ durch $\frac{y}{t}$ .

$\frac{y}{t} = \frac{C \frac{1}{t^{2}}}{2} - \frac{7}{2}$

Schritt 7

Löse $\frac{y}{t} = \frac{C \frac{1}{t^{2}}}{2} - \frac{7}{2}$ nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Multipliziere beide Seiten mit $t$ .

$\frac{y}{t} t = (\frac{C (\frac{1}{t^{2}})}{2} - \frac{7}{2}) t$

Schritt 7.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{t} t = (\frac{C (\frac{1}{t^{2}})}{2} - \frac{7}{2}) t$

Schritt 7.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = (\frac{C (\frac{1}{t^{2}})}{2} - \frac{7}{2}) t$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Vereinfache $(\frac{C (\frac{1}{t^{2}})}{2} - \frac{7}{2}) t$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1.1.1

Kombiniere $C$ und $\frac{1}{t^{2}}$ .

$y = (\frac{\frac{C}{t^{2}}}{2} - \frac{7}{2}) t$

Schritt 7.2.2.1.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = (\frac{C}{t^{2}} \cdot \frac{1}{2} - \frac{7}{2}) t$

Schritt 7.2.2.1.1.3

Kombinieren.

$y = (\frac{C \cdot 1}{t^{2} \cdot 2} - \frac{7}{2}) t$

Schritt 7.2.2.1.1.4

Mutltipliziere $C$ mit $1$ .

$y = (\frac{C}{t^{2} \cdot 2} - \frac{7}{2}) t$

Schritt 7.2.2.1.1.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $t^{2}$ .

$y = (\frac{C}{2 t^{2}} - \frac{7}{2}) t$

Schritt 7.2.2.1.2

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{C}{2 t^{2}} t - \frac{7}{2} t$

Schritt 7.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1.2.2.1

Faktorisiere $t$ aus $2 t^{2}$ heraus.

$y = \frac{C}{t (2 t)} t - \frac{7}{2} t$

Schritt 7.2.2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{C}{t (2 t)} t - \frac{7}{2} t$

Schritt 7.2.2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{C}{2 t} - \frac{7}{2} t$

Schritt 7.2.2.1.2.3

Kombiniere $t$ und $\frac{7}{2}$ .

$y = \frac{C}{2 t} - \frac{t \cdot 7}{2}$

Schritt 7.2.2.1.3

Bringe $7$ auf die linke Seite von $t$ .

$y = \frac{C}{2 t} - \frac{7 t}{2}$

Schritt 7.2.2.1.4

Stelle $\frac{C}{2 t}$ und $- \frac{7 t}{2}$ um.

$y = - \frac{7 t}{2} + \frac{C}{2 t}$