Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + (\sin (x)) y = e^{\cos (x)}$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \sin (x)$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \sin (x) d x}$

Schritt 1.2

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$e^{- \cos (x) + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- \cos (x)}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- \cos (x)}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- \cos (x)}$ .

$e^{- \cos (x)} \frac{d y}{d x} + e^{- \cos (x)} ((\sin (x)) y) = e^{- \cos (x)} e^{\cos (x)}$

Schritt 2.2

Entferne die Klammern.

$e^{- \cos (x)} \frac{d y}{d x} + e^{- \cos (x)} \sin (x) y = e^{- \cos (x)} e^{\cos (x)}$

Schritt 2.3

Multipliziere $e^{- \cos (x)}$ mit $e^{\cos (x)}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{- \cos (x)} \frac{d y}{d x} + e^{- \cos (x)} \sin (x) y = e^{- \cos (x) + \cos (x)}$

Schritt 2.3.2

Addiere $- \cos (x)$ und $\cos (x)$ .

$e^{- \cos (x)} \frac{d y}{d x} + e^{- \cos (x)} \sin (x) y = e^{0}$

Schritt 2.4

Vereinfache $e^{0}$ .

$e^{- \cos (x)} \frac{d y}{d x} + e^{- \cos (x)} \sin (x) y = 1$

Schritt 2.5

Stelle die Faktoren in $e^{- \cos (x)} \frac{d y}{d x} + e^{- \cos (x)} \sin (x) y = 1$ um.

$e^{- \cos (x)} \frac{d y}{d x} + y e^{- \cos (x)} \sin (x) = 1$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{- \cos (x)} y] = 1$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- \cos (x)} y] d x = \int d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{- \cos (x)} y = \int d x$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$e^{- \cos (x)} y = x + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $e^{- \cos (x)} y = x + C$ durch $e^{- \cos (x)}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{- \cos (x)} y = x + C$ durch $e^{- \cos (x)}$ .

$\frac{e^{- \cos (x)} y}{e^{- \cos (x)}} = \frac{x}{e^{- \cos (x)}} + \frac{C}{e^{- \cos (x)}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- \cos (x)}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{- \cos (x)} y}{e^{- \cos (x)}} = \frac{x}{e^{- \cos (x)}} + \frac{C}{e^{- \cos (x)}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x}{e^{- \cos (x)}} + \frac{C}{e^{- \cos (x)}}$