Analysis Beispiele

$x (1 + y^{2}) d x + y (1 + x^{2}) d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $x (1 + y^{2}) d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y (1 + x^{2}) d y = - x (1 + y^{2}) d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (y (1 + x^{2})) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $1 + x^{2}$ aus $y (1 + x^{2})$ heraus.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} ((1 + x^{2}) y) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} ((1 + x^{2}) y) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{1 + y^{2}} y d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{1}{1 + y^{2}}$ und $y$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

Schritt 3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = - \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (x (1 + y^{2})) d x$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + y^{2}$ .

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Schritt 3.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ in den Zähler.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (x (1 + y^{2})) d x$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $1 + y^{2}$ aus $(1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ heraus.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} (x (1 + y^{2})) d x$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $1 + y^{2}$ aus $x (1 + y^{2})$ heraus.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} ((1 + y^{2}) x) d x$

Schritt 3.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} ((1 + y^{2}) x) d x$

Schritt 3.4.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{1 + x^{2}} x d x$

Schritt 3.5

Kombiniere $\frac{- 1}{1 + x^{2}}$ und $x$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Sei $u_{1} = 1 + y^{2}$ . Dann ist $d u_{1} = 2 y d y$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Es sei $u_{1} = 1 + y^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Differenziere $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Schritt 4.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 4.2.1.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 4.2.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Schritt 4.2.1.1.5

Addiere $0$ und $2 y$ .

$2 y$

Schritt 4.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{1}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.2.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.2.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.2.4

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.2.5

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.2.6

Ersetze alle $u_{1}$ durch $1 + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.3.2

Sei $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Dann ist $d u_{2} = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 4.3.2.1

Es sei $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Differenziere $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 4.3.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.3.2.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.3.2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Schritt 4.3.2.1.5

Addiere $0$ und $2 x$ .

$2 x$

Schritt 4.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Schritt 4.3.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 4.3.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 4.3.5

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Schritt 4.3.6

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Schritt 4.3.7

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) = - \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Schritt 5.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |))$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (| 1 + y^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Schritt 5.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Schritt 5.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache $2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kombiniere $\ln (| 1 + x^{2} |)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (- \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} + C)$

Schritt 5.2.2.1.2

Um $C$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (- \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Schritt 5.2.2.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.2.1.3.1

Kombiniere $C$ und $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (- \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Schritt 5.2.2.1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \frac{- \ln (| 1 + x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Schritt 5.2.2.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.1.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \frac{- \ln (| 1 + x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Schritt 5.2.2.1.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - \ln (| 1 + x^{2} |) + C \cdot 2$

Schritt 5.2.2.1.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $C$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - \ln (| 1 + x^{2} |) + 2 C$

Schritt 5.3

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| 1 + y^{2} |) + \ln (| 1 + x^{2} |) = 2 C$

Schritt 5.4

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 + y^{2} | | 1 + x^{2} |) = 2 C$

Schritt 5.5

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\ln (| (1 + y^{2}) (1 + x^{2}) |) = 2 C$

Schritt 5.6

Multipliziere $(1 + y^{2}) (1 + x^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| 1 (1 + x^{2}) + y^{2} (1 + x^{2}) |) = 2 C$

Schritt 5.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| 1 \cdot 1 + 1 x^{2} + y^{2} (1 + x^{2}) |) = 2 C$

Schritt 5.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| 1 \cdot 1 + 1 x^{2} + y^{2} \cdot 1 + y^{2} x^{2} |) = 2 C$

Schritt 5.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.7.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\ln (| 1 + 1 x^{2} + y^{2} \cdot 1 + y^{2} x^{2} |) = 2 C$

Schritt 5.7.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\ln (| 1 + x^{2} + y^{2} \cdot 1 + y^{2} x^{2} |) = 2 C$

Schritt 5.7.3

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$\ln (| 1 + x^{2} + y^{2} + y^{2} x^{2} |) = 2 C$

Schritt 5.8

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| 1 + x^{2} + y^{2} + y^{2} x^{2} |)} = e^{2 C}$

Schritt 5.9

Schreibe $\ln (| 1 + x^{2} + y^{2} + y^{2} x^{2} |) = 2 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = | 1 + x^{2} + y^{2} + y^{2} x^{2} |$

Schritt 5.10

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.10.1

Schreibe die Gleichung als $| 1 + x^{2} + y^{2} + y^{2} x^{2} | = e^{2 C}$ um.

$| 1 + x^{2} + y^{2} + y^{2} x^{2} | = e^{2 C}$

Schritt 5.10.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$1 + x^{2} + y^{2} + y^{2} x^{2} = \pm e^{2 C}$

Schritt 5.10.3

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.10.3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + y^{2} + y^{2} x^{2} = \pm e^{2 C} - 1$

Schritt 5.10.3.2

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} + y^{2} x^{2} = \pm e^{2 C} - 1 - x^{2}$

Schritt 5.10.4

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} + y^{2} x^{2}$ heraus.

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Schritt 5.10.4.1

Multipliziere mit $1$ .

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} x^{2} = \pm e^{2 C} - 1 - x^{2}$

Schritt 5.10.4.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} x^{2}$ heraus.

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x^{2}) = \pm e^{2 C} - 1 - x^{2}$

Schritt 5.10.4.3

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x^{2})$ heraus.

$y^{2} (1 + x^{2}) = \pm e^{2 C} - 1 - x^{2}$

Schritt 5.10.5

Teile jeden Ausdruck in $y^{2} (1 + x^{2}) = \pm e^{2 C} - 1 - x^{2}$ durch $1 + x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 5.10.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y^{2} (1 + x^{2}) = \pm e^{2 C} - 1 - x^{2}$ durch $1 + x^{2}$ .

$\frac{y^{2} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{\pm e^{2 C}}{1 + x^{2}} + \frac{- 1}{1 + x^{2}} + \frac{- x^{2}}{1 + x^{2}}$

Schritt 5.10.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.10.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x^{2}$ .

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Schritt 5.10.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{\pm e^{2 C}}{1 + x^{2}} + \frac{- 1}{1 + x^{2}} + \frac{- x^{2}}{1 + x^{2}}$

Schritt 5.10.5.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C}}{1 + x^{2}} + \frac{- 1}{1 + x^{2}} + \frac{- x^{2}}{1 + x^{2}}$

Schritt 5.10.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.10.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.10.5.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C}}{1 + x^{2}} - \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{- x^{2}}{1 + x^{2}}$

Schritt 5.10.5.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C}}{1 + x^{2}} - \frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$

Schritt 5.10.5.3.2

Kombiniere zu einem Bruch.

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Schritt 5.10.5.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C} - 1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$

Schritt 5.10.5.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}}{1 + x^{2}}$

Schritt 5.10.6

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}}{1 + x^{2}}}$

Schritt 5.10.7

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}}{1 + x^{2}}}$ .

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Schritt 5.10.7.1

Schreibe $\sqrt{\frac{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}}{1 + x^{2}}}$ als $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Schritt 5.10.7.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Schritt 5.10.7.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.10.7.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Schritt 5.10.7.3.2

Potenziere $\sqrt{1 + x^{2}}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Schritt 5.10.7.3.3

Potenziere $\sqrt{1 + x^{2}}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}}$

Schritt 5.10.7.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.10.7.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}$

Schritt 5.10.7.3.6

Schreibe ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ als $1 + x^{2}$ um.

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Schritt 5.10.7.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + x^{2}}$ als ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.10.7.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.10.7.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.10.7.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.10.7.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.10.7.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}}$

Schritt 5.10.7.3.6.5

Vereinfache.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

Schritt 5.10.7.4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}) (1 + x^{2})}}{1 + x^{2}}$

Schritt 6

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm \frac{\sqrt{(C - x^{2}) (1 + x^{2})}}{1 + x^{2}}$