Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x y^{2}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (\frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{x^{2} + 1}{x}$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2} + 1}{x y^{2}}$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 1.3.2.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $x y^{2}$ heraus.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2} + 1}{y^{2} x}$

Schritt 1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2} + 1}{y^{2} x}$

Schritt 1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$y^{2} d y = \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y^{2} d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 2.3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x}{1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.3.2.5

Dividiere $x$ durch $1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.5

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{2}}{2} + \ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{2} + 3 \ln (| x |) + 3 C$

Schritt 3.2.2.1.3

Kombiniere $3$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$y^{3} = \frac{3 x^{2}}{2} + 3 \ln (| x |) + 3 C$

Schritt 3.3

Vereinfache $3 \ln (| x |)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$y^{3} = \frac{3 x^{2}}{2} + \ln ({| x |}^{3}) + 3 C$

Schritt 3.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2}}{2} + \ln ({| x |}^{3}) + 3 C}$

Schritt 3.5

Vereinfache $\sqrt[3]{\frac{3 x^{2}}{2} + \ln ({| x |}^{3}) + 3 C}$ .

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Schritt 3.5.1

Um $\ln ({| x |}^{3})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2}}{2} + \ln ({| x |}^{3}) \cdot \frac{2}{2} + 3 C}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.5.2.1

Kombiniere $\ln ({| x |}^{3})$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2}}{2} + \frac{\ln ({| x |}^{3}) \cdot 2}{2} + 3 C}$

Schritt 3.5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + \ln ({| x |}^{3}) \cdot 2}{2} + 3 C}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.3.1

Multipliziere $\ln ({| x |}^{3}) \cdot 2$ .

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Schritt 3.5.3.1.1

Stelle $\ln ({| x |}^{3})$ und $2$ um.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + 2 \cdot \ln ({| x |}^{3})}{2} + 3 C}$

Schritt 3.5.3.1.2

Vereinfache $2 \cdot \ln ({| x |}^{3})$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + \ln ({({| x |}^{3})}^{2})}{2} + 3 C}$

Schritt 3.5.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${({| x |}^{3})}^{2}$ .

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Schritt 3.5.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + \ln ({| x |}^{3 \cdot 2})}{2} + 3 C}$

Schritt 3.5.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + \ln ({| x |}^{6})}{2} + 3 C}$

Schritt 3.5.3.3

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{6}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + \ln (x^{6})}{2} + 3 C}$

Schritt 3.5.4

Um $3 C$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + \ln (x^{6})}{2} + 3 C \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 3.5.5

Kombiniere $3 C$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + \ln (x^{6})}{2} + \frac{3 C \cdot 2}{2}}$

Schritt 3.5.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 3 C \cdot 2}{2}}$

Schritt 3.5.7

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C}{2}}$

Schritt 3.5.8

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C}{2}}$ als $\frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}}$

Schritt 3.5.9

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Schritt 3.5.10

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.10.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Schritt 3.5.10.2

Potenziere $\sqrt[3]{2}$ mit $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Schritt 3.5.10.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Schritt 3.5.10.4

Addiere $1$ und $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Schritt 3.5.10.5

Schreibe ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ als $2$ um.

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Schritt 3.5.10.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{2}$ als $2^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 3.5.10.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 3.5.10.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.5.10.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.10.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.5.10.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Schritt 3.5.10.5.5

Berechne den Exponenten.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Schritt 3.5.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.11.1

Schreibe ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ als $\sqrt[3]{2^{2}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Schritt 3.5.11.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} \sqrt[3]{4}}{2}$

Schritt 3.5.12

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.5.12.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \frac{\sqrt[3]{(3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C) \cdot 4}}{2}$

Schritt 3.5.12.2

Stelle die Faktoren in $\frac{\sqrt[3]{(3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C) \cdot 4}}{2}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C)}}{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (3 x^{2} + \ln (x^{6}) + C)}}{2}$