Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 y^{2}}{\sqrt{x}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{6 y^{2}}{\sqrt{x}}$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Kombinieren.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (6 y^{2})}{y^{2} \sqrt{x}}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (6 y^{2})}{y^{2} \sqrt{x}}$

Schritt 1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot (6)}{\sqrt{x}}$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{\sqrt{x}}$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $\frac{6}{\sqrt{x}}$ mit $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Schritt 1.2.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{6}{\sqrt{x}}$ mit $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Schritt 1.2.5.2

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Schritt 1.2.5.3

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Schritt 1.2.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.2.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Schritt 1.2.5.6

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 1.2.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.2.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.2.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 \sqrt{x}}{x^{1}}$

Schritt 1.2.5.6.5

Vereinfache.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 \sqrt{x}}{x}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{6 \sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{6 \sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1.1

Bringe $y^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{6 \sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{6 \sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{6 \sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 2}$ nach $y$ gleich $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{6 \sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 2.2.3

Schreibe $- y^{- 1} + C_{1}$ als $- \frac{1}{y} + C_{1}$ um.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{6 \sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 6 \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 2.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 6 \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.2.1

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 6 \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Schritt 2.3.2.2.2

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.2.2.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.3.2.2.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 6 \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Schritt 2.3.2.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 6 \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

Schritt 2.3.2.2.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 6 \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Schritt 2.3.2.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 6 \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

Schritt 2.3.2.2.2.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 6 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 2.3.2.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.2.3.1

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 6 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 2.3.2.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.2.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 6 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 2.3.2.3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 6 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 2.3.2.3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 6 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 6 (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Schritt 2.3.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.4.1

Schreibe $6 (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ als $6 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ um.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 6 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 12 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- \frac{1}{y} = 12 x^{\frac{1}{2}} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y, 1, 1$

Schritt 3.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y$

Schritt 3.2

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{y} = 12 x^{\frac{1}{2}} + K$ mit $y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{y} = 12 x^{\frac{1}{2}} + K$ mit $y$ .

$- \frac{1}{y} y = 12 x^{\frac{1}{2}} y + K y$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{y}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{y} y = 12 x^{\frac{1}{2}} y + K y$

Schritt 3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{y} y = 12 x^{\frac{1}{2}} y + K y$

Schritt 3.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = 12 x^{\frac{1}{2}} y + K y$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Stelle die Faktoren in $12 x^{\frac{1}{2}} y + K y$ um.

$- 1 = 12 y x^{\frac{1}{2}} + K y$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $12 y x^{\frac{1}{2}} + K y = - 1$ um.

$12 y x^{\frac{1}{2}} + K y = - 1$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $y$ aus $12 y x^{\frac{1}{2}} + K y$ heraus.

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $12 y x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$y (12 x^{\frac{1}{2}}) + K y = - 1$

Schritt 3.3.2.2

Faktorisiere $y$ aus $K y$ heraus.

$y (12 x^{\frac{1}{2}}) + y K = - 1$

Schritt 3.3.2.3

Faktorisiere $y$ aus $y (12 x^{\frac{1}{2}}) + y K$ heraus.

$y (12 x^{\frac{1}{2}} + K) = - 1$

Schritt 3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $y (12 x^{\frac{1}{2}} + K) = - 1$ durch $12 x^{\frac{1}{2}} + K$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y (12 x^{\frac{1}{2}} + K) = - 1$ durch $12 x^{\frac{1}{2}} + K$ .

$\frac{y (12 x^{\frac{1}{2}} + K)}{12 x^{\frac{1}{2}} + K} = \frac{- 1}{12 x^{\frac{1}{2}} + K}$

Schritt 3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.3.2.1

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 1}{12 x^{\frac{1}{2}} + K}$

Schritt 3.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{1}{12 x^{\frac{1}{2}} + K}$