Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = - 9 x^{8} e^{- x^{9}}$ , $y (0) = 2$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = - 9 x^{8} e^{- x^{9}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int - 9 x^{8} e^{- x^{9}} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int - 9 x^{8} e^{- x^{9}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 9$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - 9 \int x^{8} e^{- x^{9}} d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u_{2} = e^{- x^{9}}$ . Dann ist $d u_{2} = - 9 x^{8} e^{- x^{9}} d x$ , folglich $- \frac{1}{9} d u_{2} = x^{8} e^{- x^{9}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Es sei $u_{2} = e^{- x^{9}}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $e^{- x^{9}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{9}}]$

Schritt 2.3.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x^{9}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- x^{9}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{9}]$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{9}]$

Schritt 2.3.2.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- x^{9}$ .

$e^{- x^{9}} \frac{d}{d x} [- x^{9}]$

Schritt 2.3.2.1.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{9}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{9}]$ .

$e^{- x^{9}} (- \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Schritt 2.3.2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 9$ .

$e^{- x^{9}} (- (9 x^{8}))$

Schritt 2.3.2.1.3.3

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$e^{- x^{9}} (- 9 x^{8})$

Schritt 2.3.2.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.4.1

Stelle die Faktoren von $e^{- x^{9}} (- 9 x^{8})$ um.

$- 9 e^{- x^{9}} x^{8}$

Schritt 2.3.2.1.4.2

Stelle die Faktoren in $- 9 e^{- x^{9}} x^{8}$ um.

$- 9 x^{8} e^{- x^{9}}$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$y + C_{1} = - 9 \int \frac{1}{- 9} d u_{2}$

Schritt 2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + C_{1} = - 9 \int - \frac{1}{9} d u_{2}$

Schritt 2.3.4

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = - 9 (- \frac{1}{9} u_{2} + C_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.1

Vereinfache.

$y + C_{1} = - 9 (- \frac{1}{9} u_{2}) + C_{2}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.2.1

Kombiniere $u_{2}$ und $\frac{1}{9}$ .

$y + C_{1} = - 9 (- \frac{u_{2}}{9}) + C_{2}$

Schritt 2.3.5.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$y + C_{1} = 9 \frac{u_{2}}{9} + C_{2}$

Schritt 2.3.5.2.3

Kombiniere $9$ und $\frac{u_{2}}{9}$ .

$y + C_{1} = \frac{9 u_{2}}{9} + C_{2}$

Schritt 2.3.5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \frac{9 u_{2}}{9} + C_{2}$

Schritt 2.3.5.2.4.2

Dividiere $u_{2}$ durch $1$ .

$y + C_{1} = u_{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.5.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $e^{- x^{9}}$ .

$y + C_{1} = e^{- x^{9}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = e^{- x^{9}} + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $0$ für $x$ und $2$ für $y$ in $y = e^{- x^{9}} + K$ ersetzt wird.

$2 = e^{- 0^{9}} + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $e^{- 0^{9}} + K = 2$ um.

$e^{- 0^{9}} + K = 2$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$e^{- 0} + K = 2$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$e^{0} + K = 2$

Schritt 4.2.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1 + K = 2$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = 2 - 1$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$K = 1$

Schritt 5

Setze $1$ für $K$ in $y = e^{- x^{9}} + K$ ein und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $1$ .

$y = e^{- x^{9}} + 1$