Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = x - y + 2$

Schritt 1

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} + y = x + 2$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = 1$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int d x}$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{x + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{x}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{x}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x + e^{x} \cdot 2$

Schritt 3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x + 2 e^{x}$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren in $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x + 2 e^{x}$ um.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = x e^{x} + 2 e^{x}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = x e^{x} + 2 e^{x}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int x e^{x} + 2 e^{x} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$e^{x} y = \int x e^{x} + 2 e^{x} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$e^{x} y = \int x e^{x} d x + \int 2 e^{x} d x$

Schritt 7.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = x e^{x} - \int e^{x} d x + \int 2 e^{x} d x$

Schritt 7.3

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$e^{x} y = x e^{x} - (e^{x} + C) + \int 2 e^{x} d x$

Schritt 7.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{x} y = x e^{x} - (e^{x} + C) + 2 \int e^{x} d x$

Schritt 7.5

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$e^{x} y = x e^{x} - (e^{x} + C) + 2 (e^{x} + C)$

Schritt 7.6

Vereinfache.

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Schritt 7.6.1

Vereinfache.

$e^{x} y = x e^{x} - e^{x} + 2 e^{x} + C$

Schritt 7.6.2

Addiere $- e^{x}$ und $2 e^{x}$ .

$e^{x} y = x e^{x} + e^{x} + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $e^{x} y = x e^{x} + e^{x} + C$ durch $e^{x}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{x} y = x e^{x} + e^{x} + C$ durch $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

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Schritt 8.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 8.3.1.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$y = x + \frac{e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 8.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

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Schritt 8.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = x + \frac{e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 8.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y = x + 1 + \frac{C}{e^{x}}$