Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + x = 8 y$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $8 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} + x - 8 y = 0$

Schritt 1.2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} - 8 y = - x$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - 8$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - 8 d x}$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{- 8 x + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- 8 x}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- 8 x}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- 8 x}$ .

$e^{- 8 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 8 x} (- 8 y) = e^{- 8 x} (- x)$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- 8 x} \frac{d y}{d x} - 8 e^{- 8 x} y = e^{- 8 x} (- x)$

Schritt 3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- 8 x} \frac{d y}{d x} - 8 e^{- 8 x} y = - e^{- 8 x} x$

Schritt 3.4

Stelle die Faktoren in $e^{- 8 x} \frac{d y}{d x} - 8 e^{- 8 x} y = - e^{- 8 x} x$ um.

$e^{- 8 x} \frac{d y}{d x} - 8 y e^{- 8 x} = - x e^{- 8 x}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{- 8 x} y] = - x e^{- 8 x}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 8 x} y] d x = \int - x e^{- 8 x} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$e^{- 8 x} y = \int - x e^{- 8 x} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- 8 x} y = - \int x e^{- 8 x} d x$

Schritt 7.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{- 8 x}$ .

$e^{- 8 x} y = - (x (- \frac{1}{8} e^{- 8 x}) - \int - \frac{1}{8} e^{- 8 x} d x)$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Kombiniere $e^{- 8 x}$ und $\frac{1}{8}$ .

$e^{- 8 x} y = - (x (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \int - \frac{1}{8} e^{- 8 x} d x)$

Schritt 7.3.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{- 8 x}}{8}$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} - \int - \frac{1}{8} e^{- 8 x} d x)$

Schritt 7.3.3

Kombiniere $e^{- 8 x}$ und $\frac{1}{8}$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} - \int - \frac{e^{- 8 x}}{8} d x)$

Schritt 7.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} - - \int \frac{e^{- 8 x}}{8} d x)$

Schritt 7.5

Vereinfache.

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Schritt 7.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + 1 \int \frac{e^{- 8 x}}{8} d x)$

Schritt 7.5.2

Mutltipliziere $\int \frac{e^{- 8 x}}{8} d x$ mit $1$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \int \frac{e^{- 8 x}}{8} d x)$

Schritt 7.6

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{8}$ aus dem Integral.

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \frac{1}{8} \int e^{- 8 x} d x)$

Schritt 7.7

Sei $u = - 8 x$ . Dann ist $d u = - 8 d x$ , folglich $- \frac{1}{8} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.7.1

Es sei $u = - 8 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 7.7.1.1

Differenziere $- 8 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 8 x]$

Schritt 7.7.1.2

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 8 \cdot 1$

Schritt 7.7.1.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$- 8$

Schritt 7.7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \frac{1}{8} \int e^{u} \frac{1}{- 8} d u)$

Schritt 7.8

Vereinfache.

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Schritt 7.8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \frac{1}{8} \int e^{u} (- \frac{1}{8}) d u)$

Schritt 7.8.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{8}$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \frac{1}{8} \int - \frac{e^{u}}{8} d u)$

Schritt 7.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \frac{1}{8} (- \int \frac{e^{u}}{8} d u))$

Schritt 7.10

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{8}$ aus dem Integral.

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \frac{1}{8} (- (\frac{1}{8} \int e^{u} d u)))$

Schritt 7.11

Vereinfache.

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Schritt 7.11.1

Mutltipliziere $\frac{1}{8}$ mit $\frac{1}{8}$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} - \frac{1}{8 \cdot 8} \int e^{u} d u)$

Schritt 7.11.2

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} - \frac{1}{64} \int e^{u} d u)$

Schritt 7.12

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} - \frac{1}{64} (e^{u} + C))$

Schritt 7.13

Vereinfache.

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Schritt 7.13.1

Schreibe $- (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} - \frac{1}{64} (e^{u} + C))$ als $- (- \frac{1}{8} x e^{- 8 x} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$ um.

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{1}{8} x e^{- 8 x} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$

Schritt 7.13.2

Vereinfache.

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Schritt 7.13.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{8}$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x}{8} e^{- 8 x} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$

Schritt 7.13.2.2

Kombiniere $e^{- 8 x}$ und $\frac{x}{8}$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{e^{- 8 x} x}{8} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$

Schritt 7.13.2.3

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{64}$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{e^{- 8 x} x}{8} - \frac{e^{u}}{64}) + C$

Schritt 7.14

Ersetze alle $u$ durch $- 8 x$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{e^{- 8 x} x}{8} - \frac{e^{- 8 x}}{64}) + C$

Schritt 7.15

Vereinfache.

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Schritt 7.15.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{- 8 x} y = - - \frac{e^{- 8 x} x}{8} - - \frac{e^{- 8 x}}{64} + C$

Schritt 7.15.2

Multipliziere $- - \frac{e^{- 8 x} x}{8}$ .

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Schritt 7.15.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{- 8 x} y = 1 \frac{e^{- 8 x} x}{8} - - \frac{e^{- 8 x}}{64} + C$

Schritt 7.15.2.2

Mutltipliziere $\frac{e^{- 8 x} x}{8}$ mit $1$ .

$e^{- 8 x} y = \frac{e^{- 8 x} x}{8} - - \frac{e^{- 8 x}}{64} + C$

Schritt 7.15.3

Multipliziere $- - \frac{e^{- 8 x}}{64}$ .

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Schritt 7.15.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{- 8 x} y = \frac{e^{- 8 x} x}{8} + 1 \frac{e^{- 8 x}}{64} + C$

Schritt 7.15.3.2

Mutltipliziere $\frac{e^{- 8 x}}{64}$ mit $1$ .

$e^{- 8 x} y = \frac{e^{- 8 x} x}{8} + \frac{e^{- 8 x}}{64} + C$

Schritt 7.15.4

Stelle die Faktoren in $\frac{e^{- 8 x} x}{8} + \frac{e^{- 8 x}}{64}$ um.

$e^{- 8 x} y = \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \frac{e^{- 8 x}}{64} + C$

Schritt 7.16

Stelle die Terme um.

$e^{- 8 x} y = \frac{1}{8} x e^{- 8 x} + \frac{1}{64} e^{- 8 x} + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $e^{- 8 x} y = \frac{1}{8} x e^{- 8 x} + \frac{1}{64} e^{- 8 x} + C$ durch $e^{- 8 x}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{- 8 x} y = \frac{1}{8} x e^{- 8 x} + \frac{1}{64} e^{- 8 x} + C$ durch $e^{- 8 x}$ .

$\frac{e^{- 8 x} y}{e^{- 8 x}} = \frac{\frac{1}{8} x e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{\frac{1}{64} e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- 8 x}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{- 8 x} y}{e^{- 8 x}} = \frac{\frac{1}{8} x e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{\frac{1}{64} e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{8} x e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{\frac{1}{64} e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- 8 x}$ .

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Schritt 8.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\frac{1}{8} x e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{\frac{1}{64} e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Schritt 8.3.1.1.2

Dividiere $\frac{1}{8} x$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{8} x + \frac{\frac{1}{64} e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Schritt 8.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- 8 x}$ .

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Schritt 8.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{1}{8} x + \frac{\frac{1}{64} e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Schritt 8.3.1.2.2

Dividiere $\frac{1}{64}$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{8} x + \frac{1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Schritt 8.3.2

Addiere $\frac{1}{8} x$ und $\frac{1}{64}$ .

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Schritt 8.3.2.1

Stelle $\frac{1}{8}$ und $x$ um.

$y = x \frac{1}{8} + \frac{1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Schritt 8.3.2.2

Um $x \frac{1}{8}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{64}{64}$ .

$y = x \frac{1}{8} \cdot \frac{64}{64} + \frac{1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Schritt 8.3.2.3

Kombiniere $x \frac{1}{8}$ und $\frac{64}{64}$ .

$y = \frac{x \frac{1}{8} \cdot 64}{64} + \frac{1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Schritt 8.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x \frac{1}{8} \cdot 64 + 1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Schritt 8.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.3.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{8}$ .

$y = \frac{\frac{x}{8} \cdot 64 + 1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Schritt 8.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 8.3.3.2.1

Faktorisiere $8$ aus $64$ heraus.

$y = \frac{\frac{x}{8} \cdot (8 (8)) + 1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Schritt 8.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\frac{x}{8} \cdot (8 \cdot 8) + 1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Schritt 8.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x \cdot 8 + 1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Schritt 8.3.3.3

Bringe $8$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = \frac{8 x + 1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Schritt 8.3.4

Um $\frac{8 x + 1}{64}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}}$ .

$y = \frac{8 x + 1}{64} \cdot \frac{e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Schritt 8.3.5

Um $\frac{C}{e^{- 8 x}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{64}{64}$ .

$y = \frac{8 x + 1}{64} \cdot \frac{e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}} \cdot \frac{64}{64}$

Schritt 8.3.6

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $64 e^{- 8 x}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.3.6.1

Mutltipliziere $\frac{8 x + 1}{64}$ mit $\frac{e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}}$ .

$y = \frac{(8 x + 1) e^{- 8 x}}{64 e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}} \cdot \frac{64}{64}$

Schritt 8.3.6.2

Mutltipliziere $\frac{C}{e^{- 8 x}}$ mit $\frac{64}{64}$ .

$y = \frac{(8 x + 1) e^{- 8 x}}{64 e^{- 8 x}} + \frac{C \cdot 64}{e^{- 8 x} \cdot 64}$

Schritt 8.3.6.3

Stelle die Faktoren von $e^{- 8 x} \cdot 64$ um.

$y = \frac{(8 x + 1) e^{- 8 x}}{64 e^{- 8 x}} + \frac{C \cdot 64}{64 e^{- 8 x}}$

Schritt 8.3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{(8 x + 1) e^{- 8 x} + C \cdot 64}{64 e^{- 8 x}}$

Schritt 8.3.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{8 x e^{- 8 x} + 1 e^{- 8 x} + C \cdot 64}{64 e^{- 8 x}}$

Schritt 8.3.8.2

Mutltipliziere $e^{- 8 x}$ mit $1$ .

$y = \frac{8 x e^{- 8 x} + e^{- 8 x} + C \cdot 64}{64 e^{- 8 x}}$

Schritt 8.3.8.3

Bringe $64$ auf die linke Seite von $C$ .

$y = \frac{8 x e^{- 8 x} + e^{- 8 x} + 64 C}{64 e^{- 8 x}}$