Analysis Beispiele

$2 y t^{3} d y + 3 y^{2} t^{2} d t = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $3 y^{2} t^{2} d t$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y t^{3} d y = - 3 y^{2} t^{2} d t$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{t^{3} y^{2}}$ .

$\frac{1}{t^{3} y^{2}} (2 y t^{3}) d y = \frac{1}{t^{3} y^{2}} (- 3 y^{2} t^{2}) d t$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \frac{1}{t^{3} y^{2}} (y t^{3}) d y = \frac{1}{t^{3} y^{2}} (- 3 y^{2} t^{2}) d t$

Schritt 3.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{t^{3} y^{2}}$ .

$\frac{2}{t^{3} y^{2}} (y t^{3}) d y = \frac{1}{t^{3} y^{2}} (- 3 y^{2} t^{2}) d t$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y t^{3}$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $y t^{3}$ aus $t^{3} y^{2}$ heraus.

$\frac{2}{y t^{3} (y)} (y t^{3}) d y = \frac{1}{t^{3} y^{2}} (- 3 y^{2} t^{2}) d t$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{y t^{3} y} (y t^{3}) d y = \frac{1}{t^{3} y^{2}} (- 3 y^{2} t^{2}) d t$

Schritt 3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{y} d y = \frac{1}{t^{3} y^{2}} (- 3 y^{2} t^{2}) d t$

Schritt 3.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2}{y} d y = - 3 \frac{1}{t^{3} y^{2}} (y^{2} t^{2}) d t$

Schritt 3.5

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{t^{3} y^{2}}$ .

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 3}{t^{3} y^{2}} (y^{2} t^{2}) d t$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2} t^{2}$ .

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $y^{2} t^{2}$ aus $t^{3} y^{2}$ heraus.

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 3}{y^{2} t^{2} (t)} (y^{2} t^{2}) d t$

Schritt 3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 3}{y^{2} t^{2} t} (y^{2} t^{2}) d t$

Schritt 3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 3}{t} d t$

Schritt 3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{y} d y = - \frac{3}{t} d t$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{2}{y} d y = \int - \frac{3}{t} d t$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{3}{t} d t$

Schritt 4.2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{3}{t} d t$

Schritt 4.2.3

Vereinfache.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{3}{t} d t$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{3}{t} d t$

Schritt 4.3.2

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - (3 \int \frac{1}{t} d t)$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{t} d t$

Schritt 4.3.4

Das Integral von $\frac{1}{t}$ nach $t$ ist $\ln (| t |)$ .

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - 3 (\ln (| t |) + C_{2})$

Schritt 4.3.5

Vereinfache.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \ln (| t |) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$2 \ln (| y |) = - 3 \ln (| t |) + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$2 \ln (| y |) + 3 \ln (| t |) = C$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $2 \ln (| y |) + 3 \ln (| t |)$ .

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1.1

Vereinfache $2 \ln (| y |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({| y |}^{2}) + 3 \ln (| t |) = C$

Schritt 5.2.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| y |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\ln (y^{2}) + 3 \ln (| t |) = C$

Schritt 5.2.1.1.3

Vereinfache $3 \ln (| t |)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (y^{2}) + \ln ({| t |}^{3}) = C$

Schritt 5.2.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (y^{2} {| t |}^{3}) = C$

Schritt 5.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (y^{2} {| t |}^{3})} = e^{C}$

Schritt 5.4

Schreibe $\ln (y^{2} {| t |}^{3}) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y^{2} {| t |}^{3}$

Schritt 5.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.5.1

Schreibe die Gleichung als $y^{2} {| t |}^{3} = e^{C}$ um.

$y^{2} {| t |}^{3} = e^{C}$

Schritt 5.5.2

Teile jeden Ausdruck in $y^{2} {| t |}^{3} = e^{C}$ durch ${| t |}^{3}$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $y^{2} {| t |}^{3} = e^{C}$ durch ${| t |}^{3}$ .

$\frac{y^{2} {| t |}^{3}}{{| t |}^{3}} = \frac{e^{C}}{{| t |}^{3}}$

Schritt 5.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${| t |}^{3}$ .

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Schritt 5.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} {| t |}^{3}}{{| t |}^{3}} = \frac{e^{C}}{{| t |}^{3}}$

Schritt 5.5.2.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{e^{C}}{{| t |}^{3}}$

Schritt 5.5.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{\frac{e^{C}}{{| t |}^{3}}}$

Schritt 5.5.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{e^{C}}{{| t |}^{3}}}$ .

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Schritt 5.5.4.1

Schreibe $\frac{e^{C}}{{| t |}^{3}}$ als ${(\frac{1}{| t |})}^{2} \frac{e^{C}}{| t |}$ um.

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Schritt 5.5.4.1.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $e^{C}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} e^{C}}{{| t |}^{3}}}$

Schritt 5.5.4.1.2

Faktorisiere die perfekte Potenz ${| t |}^{2}$ aus ${| t |}^{3}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} e^{C}}{{| t |}^{2} | t |}}$

Schritt 5.5.4.1.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} e^{C}}{{| t |}^{2} | t |}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{| t |})}^{2} \frac{e^{C}}{| t |}}$

Schritt 5.5.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm \frac{1}{| t |} \sqrt{\frac{e^{C}}{| t |}}$

Schritt 5.5.4.3

Schreibe $\sqrt{\frac{e^{C}}{| t |}}$ als $\frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| t |}}$ um.

$y = \pm \frac{1}{| t |} \cdot \frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| t |}}$

Schritt 5.5.4.4

Kombinieren.

$y = \pm \frac{1 \sqrt{e^{C}}}{| t | \sqrt{| t |}}$

Schritt 5.5.4.5

Mutltipliziere $\sqrt{e^{C}}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}}}{| t | \sqrt{| t |}}$

Schritt 5.5.4.6

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{e^{C}}}{| t | \sqrt{| t |}}$ mit $\frac{\sqrt{| t |}}{\sqrt{| t |}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}}}{| t | \sqrt{| t |}} \cdot \frac{\sqrt{| t |}}{\sqrt{| t |}}$

Schritt 5.5.4.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.5.4.7.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{e^{C}}}{| t | \sqrt{| t |}}$ mit $\frac{\sqrt{| t |}}{\sqrt{| t |}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| t |}}{| t | \sqrt{| t |} \sqrt{| t |}}$

Schritt 5.5.4.7.2

Bewege $\sqrt{| t |}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| t |}}{| t | (\sqrt{| t |} \sqrt{| t |})}$

Schritt 5.5.4.7.3

Potenziere $\sqrt{| t |}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| t |}}{| t | ({\sqrt{| t |}}^{1} \sqrt{| t |})}$

Schritt 5.5.4.7.4

Potenziere $\sqrt{| t |}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| t |}}{| t | ({\sqrt{| t |}}^{1} {\sqrt{| t |}}^{1})}$

Schritt 5.5.4.7.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| t |}}{| t | {\sqrt{| t |}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.5.4.7.6

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| t |}}{| t | {\sqrt{| t |}}^{2}}$

Schritt 5.5.4.7.7

Schreibe ${\sqrt{| t |}}^{2}$ als $| t |$ um.

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Schritt 5.5.4.7.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{| t |}$ als ${| t |}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| t |}}{| t | {({| t |}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.5.4.7.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| t |}}{| t | {| t |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.5.4.7.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| t |}}{| t | {| t |}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.5.4.7.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.5.4.7.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| t |}}{| t | {| t |}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.5.4.7.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| t |}}{| t | {| t |}^{1}}$

Schritt 5.5.4.7.7.5

Vereinfache.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| t |}}{| t | | t |}$

Schritt 5.5.4.8

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C} | t |}}{| t | | t |}$

Schritt 5.5.4.9

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C} | t |}}{| t \cdot t |}$

Schritt 5.5.4.10

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.5.4.10.1

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C} | t |}}{| t^{2} |}$

Schritt 5.5.4.10.2

Entferne nicht-negative Terme aus dem Absolutwert.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C} | t |}}{t^{2}}$

Schritt 5.5.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.5.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | t |}}{t^{2}}$

Schritt 5.5.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{e^{C} | t |}}{t^{2}}$

Schritt 5.5.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | t |}}{t^{2}}$

$y = - \frac{\sqrt{e^{C} | t |}}{t^{2}}$

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | t |}}{t^{2}}$

$y = - \frac{\sqrt{e^{C} | t |}}{t^{2}}$

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | t |}}{t^{2}}$

$y = - \frac{\sqrt{e^{C} | t |}}{t^{2}}$

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | t |}}{t^{2}}$

$y = - \frac{\sqrt{e^{C} | t |}}{t^{2}}$

Schritt 6

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\sqrt{C | t |}}{t^{2}}$

$y = - \frac{\sqrt{C | t |}}{t^{2}}$